高等数学

竞赛题

(泰勒公式

设x>0时,f(x)=(1+x)^1/x,求证:x→0+时,f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2),并求A,B之值.

竞赛题

(曲线的凸凹性

设函数f(x)在(0,+∞)上连续可导,lim x->+∞f(x)存在,f(x)的图形在(0,+∞)是上凸的,求证:lim x->+∞f′(x)=0.

竞赛题

(微分中值定理

设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数,并且f″(x)>0,lim x->+∞f′(x)=α>0,lim x->-∞f′(x)=β<0,且存在一点x0使得f(x0)<0,证明:方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.

竞赛题

(微分中值定理

设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,求证:存在ξ∈(0,1),使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.