设A是n维欧氏空间V上的线性变换，在基α₁,α₂,⋯,α_n下的矩阵为A.证明：A为对称变换的充要条件是A^T G=GA，其中G=(α_i,α_j )为基α₁,α₂,⋯,α_n的度量矩阵.

设A是n维复线性空间V上的线性变换，n>1，若Aⁿ=0，且A^n-1≠0，则存在两个A的非平凡子空间U和W，使得V=U⨁W.

设R³为带标准内积的3维欧氏空间，对R³的基α₁=(-1,1,1),α₂=(0,-1,1),α₃=(0,0,1)进行Schmidt正交化得R³的标准正交基β₁,β₂,β₃，则β₃=________.

已知A,B,C是有限维线性空间上的三个线性变换，证明：A+B-ACB和A+B-BCA在该空间是同构的.

设α,β,γ 是有理数域上线性空间V中的向量，其中α≠0，假如存在V上的线性变换Γ，使得Γα=β,Γβ=α,Γγ=α-β.

证明：α,β,γ在V中线性无关.