对于实数T>0，称欧氏平面R²的子集Γ为T-稠密的,如果对任意v∈R²,存在w∈Γ满

足‖v-w‖≤T.设2阶整方阵A∈M₂ (Z)满足det⁡(A)≠0.

(1)假设tr(A)=0.证明存在C>0,使得对任意正整数n,集合

A^n Z²≔{Aⁿ v:v∈Z² }

是C|de t⁡(A) |^n/2-稠密的.

(2)假设A的特征多项式在有理数域上不可约.证明与(1)相同的结论.

注:这里R²和Z²中的向量约定为列向量，R²中的内积为标准内积，即〈v,w〉=v^t w.

(提示:在对(2)的证明中,可使用如下Minkowski凸体定理的特殊情形：R²中以原点为中心且面积为4的任意闭平行四边形中总包含Z²中的非零向量.)

设A是n维欧氏空间V上的线性变换，在基α₁,α₂,⋯,α_n下的矩阵为A.证明：A为对称变换的充要条件是A^T G=GA，其中G=(α_i,α_j )为基α₁,α₂,⋯,α_n的度量矩阵.

设A是n维复线性空间V上的线性变换，n>1，若Aⁿ=0，且A^n-1≠0，则存在两个A的非平凡子空间U和W，使得V=U⨁W.

设R³为带标准内积的3维欧氏空间，对R³的基α₁=(-1,1,1),α₂=(0,-1,1),α₃=(0,0,1)进行Schmidt正交化得R³的标准正交基β₁,β₂,β₃，则β₃=________.

已知A,B,C是有限维线性空间上的三个线性变换，证明：A+B-ACB和A+B-BCA在该空间是同构的.