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对于实数T>0，称欧氏平面R²的子集Γ为T-稠密的,如果对任意v∈R²,存在w∈Γ满
足‖v-w‖≤T.设2阶整方阵A∈M2 (Z)满足det(A)≠0.
(1)假设tr(A)=0.证明存在C>0,使得对任意正整数n,集合
A^n Z²≔{An v:v∈Z² }
是C|de t(A) |n/2-稠密的.
(2)假设A的特征多项式在有理数域上不可约.证明与(1)相同的结论.
注:这里R²和Z²中的向量约定为列向量，R²中的内积为标准内积，即〈v,w〉=vt w.
(提示:在对(2)的证明中,可使用如下Minkowski凸体定理的特殊情形：R²中以原点为中心且面积为4的任意闭平行四边形中总包含Z²中的非零向量.)
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设函数f(x)连续可导，且f(0)=1,0<f'(x)<1/2.设{xn}满足：xn+1=f(n),(n=1,2,⋯)，证明：(1)级数(xn+1-xn)绝对收敛.(2)xn存在，且0<xn <2.
设函数f(x)在区间[0,+∞)上可微，且满足条件：0≤f(x)≤x/(1+x²)(0≤x<+∞)求证：存在ξ>0，使得f'(ξ)=(1-ξ²)/(1+ξ²)².
证明：函数项级数(-1)n/(x²+n)在区间x∈(-∞,+∞)上一致收敛.
讨论：当α>0时，函数f(x)=xα在区间[0,+∞)上的一致连续性.
设有界区域Ω由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，Σ为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分：I=∬Σ(x²+1)dydz-2ydzdx+3zdxdy
已知L是第一象限中点从点(0,0)沿圆周x²+y²-2x=0到点(2,0)，再沿圆周x²+y²=4到点(0,2)的曲线段，计算I=∫L3x²ydydx+(x³+x-2y)dy
设V是欧氏空间，W是V的子空间，V中的向量α不在W中，问是否存在α0∈W，使得α-α0与W的任意向量都正交？如果不存在，举出例子；如果存在，说明理由并讨论其唯一性.
设α,β,γ 是有理数域上线性空间V中的向量，其中α≠0，假如存在V上的线性变换Γ，使得Γα=β,Γβ=α,Γγ=α-β.证明：α,β,γ在V中线性无关.
已知A,B,C是有限维线性空间上的三个线性变换，证明：A+B-ACB和A+B-BCA在该空间是同构的.
设R³为带标准内积的3维欧氏空间，对R³的基α1=(-1,1,1),α2=(0,-1,1),α3=(0,0,1)进行Schmidt正交化得R³的标准正交基β1,β2,β3，则β3=________.
设A是n维复线性空间V上的线性变换，n>1，若An=0，且An-1≠0，则存在两个A的非平凡子空间U和W，使得V=U⨁W.
设A是n维欧氏空间V上的线性变换，在基α1,α2,⋯,αn下的矩阵为A.证明：A为对称变换的充要条件是AT G=GA，其中G=(αi,αj )为基α1,α2,⋯,αn的度量矩阵.
已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T，则向量β=(2,0,0)T在此基底下的坐标是____________.
设向量α1=,α2=,α3=，若α1,α2,α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab=__________.
设向量α1=,α2=,α3=，若α1,α2,α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则【 】
已知同维数的两个向量组有相同的秩，且其中之一可用另外一个线性表示，证明：这两个向量组等价。
设向量组A:α1,α2,… ,αs可以由向量组B:β1,β2,… ,βt线性表示且R(A)=R(B).证明向量组A与向量组B等价.
设xoy在平面上n个结点Mi(xi,yi ),i=1,2,…,n(n≥3).证明：M1,M2,…,Mn在同一条直线上⟺R=2.
已知向量组α1=(1,2,3,4),α2=(2,3,4,5),α3=(3,4,5,6),α4=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是______.
设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关.
设α1=,α2=,α3=，则三条直线a1 x+b1 y+c1=0,a2 x+b2 y+c2=0,a3 x+b3 y+c3=0,(其中ai2+bi2≠0,i=1,2,3)相交于一点的充要条件是【 】
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.