大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2024年 n维向量)

单项选择（2024年理工数学Ⅰ）

设向量α₁=,α₂=,α₃=，若α₁,α₂,α₃线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则【】

A、a=1,b≠-1

B、a=1,b=-1

C、a≠-2,b=2

D、a=-2,b=2

答案解析

D

【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

在空间直角坐标系O-xyz中，三张平面πi:ai x+bi y+ci z=di (i=1,2,3)的位置关系如图所示，记αi=(ai,bi,ci ),βi=(ai,bi,ci,di)，若r=m,r=n，则【】

设函数f(x)在区间(-1,1)上有定义，且f(x)=0，则【】

已知幂级数anxn的和函数为ln⁡(2+x)，则na2n =【】

矩阵A=,B=，二次型f(x1,x2,x3 )=xT BAx.已知方程组Ax=0的解均是BT x=0的解，但这两个方程组不同解.(1)求a,b的值；(2)求正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为标准形.

设函数f(x)具有2阶导数，且f' (0)=f' (1),|f'' (x)|≤1，证明：(1)当x∈(0,1)时，|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|≤(x(1-x))/2;(2) |f(x) dx-(f(0)+f(1))/2|≤1/12.

已知函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，且函数g(x,y)=f(2x+y,3x-y)满足(∂² g)/(∂x² )+(∂² g)/∂x∂y-6 (∂² g)/(∂y² )=1.(1)求(∂² f)/∂u∂v;(2)若∂f(u,0)/∂u=ue^(-u),f(0,v)=1/50 v²-1，求f(u,v)的表达式.

设t>0，平面有界区域D由曲线y=√x ex与直线x=t,x=2t及x轴围成，D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为V(t)，求V(t)的最大值.

设y(x)为微分方程x²y''+xy'-9y=0满足条件 y|x=1=2, y'|x=1=6的解.(1)利用变换x=et将上述方程化为常系数线性方程，并求y(x)；(2)计算y(x)dx.

设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy=1/3,xy=3与直线y=1/3 x,y=3x围成，计算∬D(1+x-y)dxdy.

设向量α1=,α2=,α3=，若α1,α2,α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab=__________.

n维向量

已知直线L1:(x-a2)/a1 =(y-b2)/b1 =(2-c2)/c1 与直线L2:(x-a3)/a2 =(y-b3)/b2 =(2-c3)/c2 相交与一点，法向量αi=,i=1,2,3，则【】

四维矢量X采用列矩阵表示为：X=,其中，矢量X的四个分量x1,x2,x3,x4满足如下条件：，试证明：这样的四维矢量X存在“无穷多个”，并可一般表示为：X=ax1+bx2+1/2 x3;其中x1=,x2=,x3=;而a,b为“任意实数”.

设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|=0，则A中【】

已知α1=(1,0,2,3),α2=(1,1,3,5),α3=(1,-1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8)及β=(1,1,b+3,5).(1) a,b为何值时，β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合？(2) a,b为何值时，β有α1,α2,α3,α4的唯一线性表示？并写出该表示式.

已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关，则向量组【】

设α1=,α2=,α3=,α4=，若向量组α1,α2,α3与α1,α2,α4等价，则λ的取值范围是【】

设A是n×n实对称矩阵，证明：存在一个实数k使得对任意一个实n维向量x都有|x' Ax|≤kx'x，其中x'表示向量x的转置.

已知四维实矢量空间的矢量（表示成矩阵）：=,满足如下条件：以及T∙=9/4（其中，T表示对矩阵取置换），试求出所有这样的四维实矢量的集合：{ }=?

n维向量组α1,α2,…,αs (3≤s≤n)线性无关的充要条件是【】

已知向量α1=,α2=,β1=,β2=，若γ既可由α1,α2线性表示，也可由β1,β2线性表示，则γ=【】

向量组的线性相关性

设V是欧氏空间，W是V的子空间，V中的向量α不在W中，问是否存在α0∈W，使得α-α0与W的任意向量都正交？如果不存在，举出例子；如果存在，说明理由并讨论其唯一性.

设V是n维线性空间，φ为V上的线性变换，且φ的特征多项式为f(x)=(x-λ1 )m1(x-λ2 )m2(λ1≠λ2)其中m1+m2=n.(1)证明：Ker((φ-λ1 E)m1)是φ的不变子空间，其中E是恒等变换；(2)证明：V=Ker((φ-λ1 E)m1)⨁Ker((φ-λ2 E)m2).

设R2中的内积为(α,β)=α' Aβ,A=，则,在此内积之下的度量矩阵为________.

已知同维数的两个向量组有相同的秩，且其中之一可用另外一个线性表示，证明：这两个向量组等价。

已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V：(a1,b1 )+(a2,b2 )=(a1+a2,b1+b2+a1 a2),k∙(a,b)=(ka,kb+(k(k-1))/2 a2).(1)求V的一组基;(2)定义变换A(a,b)=(a,a+b)，证明：A是一个线性变换；并求A在V的一组基下的矩阵表示.

已知A ̅和B ̅分别是三维空间中的矢量矩阵和单位方向矢量;A ̅=Ax+Ay+Az;( Ax=,Ay=,Az=B ̅=cosα+cosβ+cosγ;( cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1)计算矩阵求和c=k(A ̅∙B ̅)k +2k (A ̅∙B ̅)2k.提示：首先考察(A ̅∙B ̅)2=?

在P[x]4定义内积：(f(x),g(x))=f(x)g(x) dx,f(x),g(x)∈P[x]4，并定义线性变换A:Aεi=ηi,i=1,2,3,4.ε1=1/2 (1+x+x2+x3 ),η1=2x+x2-x3 ε2=1/2 (-1-x+x2+x3 ),η2=-1-x2-2x3 ε3=1/2 (-1+x-x2+x3 ),η3=-2x-x2+x3 ε4=1/2 (-1+x+x2-x3 ),η4=1-4x-x2 求A的核空间的一个标准正交基.

设向量组A:α1,α2,… ,αs可以由向量组B:β1,β2,… ,βt线性表示且R(A)=R(B).证明向量组A与向量组B等价.

设xoy在平面上n个结点Mi(xi,yi ),i=1,2,…,n(n≥3).证明：M1,M2,…,Mn在同一条直线上⟺R=2.

已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T，则向量β=(2,0,0)T在此基底下的坐标是____________.