填空题(1987年高等数学一

已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0)T2=(1,0,1)T3=(0,1,1)T,则向量β=(2,0,0)T在此基底下的坐标是____________.

参考答案

关键词

向量;数学;空间;线性相关;相关性;性向;坐标;基底;知识;向量空间;

设xoy在平面上n个结点Mi(xi,yi ),i=1,2,…,n(n≥3).证明:M1,M2,…,Mn在同一条直线上⟺R=2.

设向量组A:α1,α2,… ,αs可以由向量组B:β1,β2,… ,βt线性表示且R(A)=R(B).证明向量组A与向量组B等价.

在P[x]4定义内积:(f(x),g(x))=f(x)g(x) dx,f(x),g(x)∈P[x]4,并定义线性变换A:Aεi=ηi,i=1,2,3,4.ε1=1/2 (1+x+x2+x3 ),η1=2x+x2-x3 ε2=1/2 (-1-x+x2+x3 ),η2=-1-x2-2x3 ε3=1/2 (-1+x-x2+x3 ),η3=-2x-x2+x3 ε4=1/2 (-1+x+x2-x3 ),η4=1-4x-x2 求A的核空间的一个标准正交基.

已知A ̅和B ̅分别是三维空间中的矢量矩阵和单位方向矢量;A ̅=Ax+Ay+Az;( Ax=,Ay=,Az=B ̅=cosα+cosβ+cosγ;( cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1)计算矩阵求和c=k(A ̅∙B ̅)k +2k (A ̅∙B ̅)2k.提示:首先考察(A ̅∙B ̅)2=?

四维矢量X采用列矩阵表示为:X=,其中,矢量X的四个分量x1,x2,x3,x4满足如下条件:,试证明:这样的四维矢量X存在“无穷多个”,并可一般表示为:X=ax1+bx2+1/2 x3;其中x1=,x2=,x3=;而a,b为“任意实数”.

已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V:(a1,b1 )+(a2,b2 )=(a1+a2,b1+b2+a1 a2),k∙(a,b)=(ka,kb+(k(k-1))/2 a2).(1)求V的一组基;(2)定义变换A(a,b)=(a,a+b),证明:A是一个线性变换;并求A在V的一组基下的矩阵表示.

已知同维数的两个向量组有相同的秩,且其中之一可用另外一个线性表示,证明:这两个向量组等价。

向量组α1=(1 1 k),α2=(1 k 1),α3=(k 1 1)是线性无关的,则k=__________.

设R2中的内积为(α,β)=α' Aβ,A=,则,在此内积之下的度量矩阵为________.

已知四维实矢量空间的矢量(表示成矩阵):=,满足如下条件:以及T∙=9/4(其中,T表示对矩阵取置换),试求出所有这样的四维实矢量的集合:{ }=?