设A是n维线性空间V的线性变换,则V=ImA⊕KerA.
设A是n阶复方阵,V1是A的行向量生成的Cn的子空间,V2是A的列向量生成的Cn的子空间,则V1=V2.
设A是2022阶可逆对称实方阵,则A必有2021阶非零主子式
设A,B都是n(n≥2)阶复方阵,则rank(AB)=rank(BA).
设R^3上的线性变换A(x)=x,则α=生成的A-循环不变空间的维数为________.
设=QR,其中Q是正交方阵,R是对角线元素大于0的上三角方阵,则R=________.
设A=,则A-1=__________,A2022=__________,A的最大奇异值σ1=__________.
设空间直角坐标系中的四点A(1,1,1),B(1,2,3),C(1,2,4),D(2,3,4),则点A到平面BCD的距离d=__________.
在平面直角坐标系中,椭圆x2+xy+y2=1的长轴方程为__________,位于x轴上半平面内的焦点坐标为__________.
设f(x)=sin(a1 x)+sin(a2 x)+sin(a3 x),a1,a2,a3>0.证明:存在数列{tn}使得tn=+∞且f(x+tn)=f(x)对∀x∈R一致成立.
设对角矩阵A的特征多项式为 φ(λ)=(λ-λi)ni (诸λi两两互异),求所有和A可交换的矩阵全体所组成的线性空间的维数.
用数学归纳法证明:对于复n维空间Vn上任意多个两两可交换的线性变换所组成的集合S具有公共的特征向量.
设R2中的内积为(α,β)=α' Aβ,A=,则,在此内积之下的度量矩阵为________.
已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T,则向量β=(2,0,0)T在此基底下的坐标是____________.
设B是秩为2的5×4矩阵,α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.
设α1,α2,…,αr是n维向量.令β1=α2+α3+⋯+αr,β2=α1+α3+⋯+αr,…,βr=α1+α2+⋯+αr-1.证明向量组β1,β2,…,βr与向量组α1,α2,…,αr有相同的秩.
设A是n×n实对称矩阵,证明:存在一个实数k使得对任意一个实n维向量x都有|x' Ax|≤kx'x,其中x'表示向量x的转置.
已知四维实矢量空间的矢量(表示成矩阵):=,满足如下条件:以及T∙=9/4(其中,T表示对矩阵取置换),试求出所有这样的四维实矢量的集合:{ }=?
向量组α1=(1 1 k),α2=(1 k 1),α3=(k 1 1)是线性无关的,则k=__________.
已知同维数的两个向量组有相同的秩,且其中之一可用另外一个线性表示,证明:这两个向量组等价。
设向量组A:α1,α2,… ,αs可以由向量组B:β1,β2,… ,βt线性表示且R(A)=R(B).证明向量组A与向量组B等价.
设xoy在平面上n个结点Mi(xi,yi ),i=1,2,…,n(n≥3).证明:M1,M2,…,Mn在同一条直线上⟺R=2.