大学数学-考研试题(中国科学技术大学 2022年矩阵的秩)

证明题（2022年中国科学技术大学）

设A，B都是n(n≥2)阶复方阵，则rank(AB)=rank(BA).

答案解析

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讨论

矩阵的秩

设矩阵A=，求P(A).

设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________.

设A是n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明秩R(A*)与R(A)之间满足R(A* )=

设A≠0，证明：R(A)=1的充要条件是A可表示为一个列向量与一个行向量的乘积。

设A=，其中a_i≠0,b≠0(i=1,2,⋯,n)，则矩阵A的秩r(A)=________.

已知Q=，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=0，则【】

设A为m×n且秩为s的矩阵，X为p×m的列满秩矩阵，即r(X)=m，而Y为n×q的行满秩矩阵，即r(Y)=n。证明：r(A)=r(XA)=r(AY)=r(XAY)其中符号r(T)表示矩阵T的秩。

设A是n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵，(1)证明：|A* |=|A|n-1;(2)证明：R(A* )=.

设A=，B是三阶非零方阵，且AB=O，求a,b以及B的秩.

设A=,A11∈Cr×r,rankA11=r且rankA=rankA11，证明：(1) A22-A21 A11-1 A12=0(2) N()=R()其中N(T),R(T)分别表示T∈Cm×n的零空间与列空间，即N(T)={x|Tx=0}⊂Cn R(T)={y|y=Tx,x∈Cn}⊂Cm Cm×n表示 m×n复数矩阵空间，Cn表示复n维列向量构成的线性空间，In-r表示 (n-r)×(n-r)单位矩阵。

矩阵的运算

已知A=,B为三阶方阵，满足A2B=A+AB，求B。

方阵A=，而n≥2为整数，则A2-2An-1=__________。

已知A=,B=满足(E-A-1B) XT=A-1（其中E为单位阵），试求X。

考虑循环矩阵A=证明：(1) A=a0 In+a1 T+a2 T2+⋯+an-1 Tn-1，其中T=In表示n×n单位矩阵。(2) T相似于对角矩阵。(3) A相似于对角矩阵。

设B为一r×r矩阵，C为一r×n矩阵.如果BC=C,问B=E是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例，并给出使B=E的充要条件。其中E为单位矩阵.

设A是一个n×n实矩阵，秩(A)=1，证明A2=kA，其中k为一实数.

已知矩阵：A=,B=,C= 计算：(cosα∙A+cosβ∙B+cosγ∙C)3=？其中，cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1,cosα+2cosβ+3cosγ=√3/3.提示：设E=，并引入三个矩阵：A'=A-E,B'=B-2E,C'=C-3E [注意：(cosα∙A'+cosβ∙B'+cosγ∙C')2=？]后，再作计算.

已知AP=PB，其中B=,P=，求A,A5.

已知α=[1,2,3],β=[1,1/2,1/3]，设A=αTβ，其中αT是α的转置，则An=________________.

设3阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA，且A=，则B=____________.

矩阵

设A,B,C,D都是n×n矩阵，且|A|≠0,AC=CA，证明=|AD-CB|.

设A=(aij)n×n为正定矩阵.证明：f(x1,x2,…,xn )=是负定二次型，其中符号|∙|表示行列式.

设A=为n×n正定矩阵，证明：|A|≤a11 a22…ann.其中符号|∙|表示行列式.

设A是n阶正定矩阵，B为n阶实方阵，证明：(1)若B'=B,则AB的特征值为实数；(2)若B正定,则AB的特征值皆大于0；(3)若B正定,且AB=BA,则AB正定。

设A为正交阵，且A|=-1，证明：A+E不可逆.

设A,B均为n阶实对称阵，A的特征值均小于a，B的特征值均小于b.证明：对任意的k>a+b,A+B-kE是负定矩阵.

设A为方阵，g(λ)是A的最小多项式，f(λ)为任意多项式.证明：f(A)可逆⇔(f(λ),g(λ))=1.

设矩阵A=,E=，则逆矩阵(A-2E)-1=________.

设4阶方阵A=，则A的逆矩阵A-1=____________.

设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1.