已知AP=PB，其中
B=
,P=
，
求A,A5.
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计算题（1988年理工数学Ⅰ）
答案解析
由|P|=-1≠0,知P为可逆矩阵，于是由AP=PB有A=PBP^(-1).利用矩阵乘法的结合律，有A5=PBP-1∙PBP-1∙PBP-1∙PBP-1∙PBP-1=PB5 P-1.由P可求出P-1=...
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方阵A=，而n≥2为整数，则A2-2An-1=__________。
已知A=,B=满足(E-A-1B) XT=A-1（其中E为单位阵），试求X。
设A为m×n且秩为s的矩阵，X为p×m的列满秩矩阵，即r(X)=m，而Y为n×q的行满秩矩阵，即r(Y)=n。证明：r(A)=r(XA)=r(AY)=r(XAY)其中符号r(T)表示矩阵T的秩。
考虑循环矩阵A=证明：(1) A=a0 In+a1 T+a2 T2+⋯+an-1 Tn-1，其中T=In表示n×n单位矩阵。(2) T相似于对角矩阵。(3) A相似于对角矩阵。
设B为一r×r矩阵，C为一r×n矩阵.如果BC=C,问B=E是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例，并给出使B=E的充要条件。其中E为单位矩阵.
设A是n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵，(1)证明：|A* |=|A|n-1;(2)证明：R(A* )=.
证明：任一可逆的实矩阵A可以表示成A=QB，其中Q为正交矩阵，B是主对角线上元素均为正的三角形矩阵：B=,bii>0,且此表示式是惟一的。
设S1,S3为实对称矩阵，S2为实矩阵，则矩阵S=为正定矩阵的充要条件为矩阵S3与矩阵S1-S2 S3-1 S2'皆为正定矩阵。
设A为实对称矩阵。证明当实数t充分大之后，tI+A是正定矩阵，其中I表示单位矩阵。
设A,B,C,D都是n×n矩阵，且|A|≠0,AC=CA，证明=|AD-CB|.
设A=(aij)n×n为正定矩阵.证明：f(x1,x2,…,xn )=是负定二次型，其中符号|∙|表示行列式.
设A=为n×n正定矩阵，证明：|A|≤a11 a22…ann.其中符号|∙|表示行列式.
设A=,A*为A的伴随矩阵，则|(1/4 A)-1 - 15A* |=________.
设A是n阶正定矩阵，B为n阶实方阵，证明：(1)若B'=B,则AB的特征值为实数；(2)若B正定,则AB的特征值皆大于0；(3)若B正定,且AB=BA,则AB正定。
设A是一个n×n实矩阵，秩(A)=1，证明A2=kA，其中k为一实数.
设A,A-E可逆，若B满足(E-(A-E)-1 )B=A，则B-A=______________.
设3阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA，且A=，则B=____________.
已知α=[1,2,3],β=[1,1/2,1/3]，设A=αTβ，其中αT是α的转置，则An=________________.
设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有【 】
计算曲面积分I=∬∑x(8y+1)dydz+2(1-y2 )dxdz-4yzdxdy,其中∑是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于π/2.