大学数学-考博试题(北京大学 2004年正定矩阵)

证明题（2004年北京大学）

设A为实对称矩阵。证明当实数t充分大之后，tI+A是正定矩阵，其中I表示单位矩阵。

答案解析

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讨论

大学数学

考虑循环矩阵A=证明：(1) A=a0 In+a1 T+a2 T2+⋯+an-1 Tn-1，其中T=In表示n×n单位矩阵。(2) T相似于对角矩阵。(3) A相似于对角矩阵。

设x1-x2=a1,x2-x3=a2,x3-x4=a3,x4-x5=a4,x5-x1=a5。证明此方程组有解的充分必要条件为ai =0。

证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根，其中μ为整数。

北京大学齐次微分方程

设y=φ(x)满足微分不等式dy/dx+a(x)y≤0 其中函数a(x)在x≥0上连续，证明：φ(x)≤φ(0) ,(x≥0).

证明微分方程初值问题：的解在α<t<β上存在且惟一，其中a(t),b(t)均在区间α<t<β上连续，α<x_0<β,x_0为任意实数。

考虑方程x''+k2 x=f(t)，其中k为常数，函数f(t)于0≤t<+∞上连续。(1)当k≠0时求上述方程满足初始条件x(0)=1,x' (0)=-1的解。(2)证明当k=0时上述方程的通解可表示为x=c1+c2 t+(t-s)f(s)ds 其中c1,c2为任意常数。

求解微分方程组的初值问题

给定方程x''+8x'+7x=f(t)，其中f(t)在(-∞,+∞)上连续。如果f(t)=0，则上述方程的每一个解当t→+∞时都趋于零。

考虑线性方程组dx/dt=A(t)x+f(t) (1)其中A(t),f(t)以ω为周期，A(t)为n×n的矩阵函数，f(t)为n维向量函数。设x1 (t),x2 (t),…,xn (t)是对应齐次方程组dx/dt=A(t)x (2)的基本解组，满足初始条件：x1 (0)=,x2 (0)=,…,xn (0)= 证明：1.设x=φ(t)是(1)的解，则x=φ(t)是(1)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)。2.对于任何连续的周期函数f(t),f(t)=f(t+ω)，方程组(1)有惟一的周期解（周期为ω）的充要条件是矩阵X(ω)=[x1 (ω)…xn (ω)]没有等于1的特征根。

正定矩阵

设A是n级实对称矩阵，证明rank(A)=n的充要条件是：存在实对称矩阵B使AB+B'A是正定矩阵。

设S1,S3为实对称矩阵，S2为实矩阵，则矩阵S=为正定矩阵的充要条件为矩阵S3与矩阵S1-S2 S3-1 S2'皆为正定矩阵。

设A是n阶正定矩阵，B为n阶实方阵，证明：(1)若B'=B,则AB的特征值为实数；(2)若B正定,则AB的特征值皆大于0；(3)若B正定,且AB=BA,则AB正定。

设A为正交阵，且A|=-1，证明：A+E不可逆.

设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1.

设A,B均为n阶实对称阵，A的特征值均小于a，B的特征值均小于b.证明：对任意的k>a+b,A+B-kE是负定矩阵.

设A=(aij)n×n为正定矩阵.证明：f(x1,x2,…,xn )=是负定二次型，其中符号|∙|表示行列式.

设A=为n×n正定矩阵，证明：|A|≤a11 a22…ann.其中符号|∙|表示行列式.

设A=(aij)n×n，且行列式≠0,1≤k≤n.证明存在下三角形矩阵Bn×n，使BA为上三角形矩阵。

北京大学齐次微分方程

矩阵

设A是2022阶可逆对称实方阵，则A必有2021阶非零主子式

设A = aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A| = 3，A11 + A21 + A31 = ______.

设A,A-E可逆，若B满足(E-(A-E)-1 )B=A，则B-A=______________.

设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加第1列，得到矩阵，则A-1的迹tr(A-1)=__________.

设=QR，其中Q是正交方阵，R是对角线元素大于0的上三角方阵，则R=________.

设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明：A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.

下列矩阵中不能相似于对角矩阵的【】

若x=(-1,2,3,0,4)，求‖x‖1,‖x‖2,‖x‖∞.

设A=，求‖x‖1,‖x‖F,‖x‖∞.

若n维列向量α与β正交，A=αβT，则A的特征值全为零。