证明题(2002年秋电子科技大学

若n维列向量α与β正交,A=αβT,则A的特征值全为零。

答案解析

A2=α(βTα)βT

因为α与β正交,所以βTα=0,

所以A2=0

设λ为A的任一特征值,则λ2为A2的特征值 ,

于是λ2=0,即λ=0,故A的所有特征值均为零。

讨论

令n为正整数。对任一正整数k,记0k=为k×k的零矩阵。令Y=为一个(2n+1)×(2n+1)矩阵,其中A=(xi,j)1≤i≤n,1≤j≤n+1是一个n×(n+1)实矩阵且At记A的转置矩阵,即(n+1)×n的矩阵,(j,i)处元素为xi,j.(i)证明题(10分)称复数λ为k×k矩阵X的一个特征值,如果存在非零列向量v=(x1,…,xk)t使得Xv=λv.证明:0是Y的特征值且Y的其他特征值形如±,其中非负实数λ是AAt的特征值。(ii)证明题(15分)令n=3且a1,a2,a3,a4是4个互不相等的正实数。记a=以及xi,j=ai δi,j+aj δ4,j-1/a2 (ai2+a42)aj(1≤i≤3,1≤j≤4),其中δi,j= .证明:Y有7个互不相等的特征值。

设3阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3,对应的特征向量依次为ξ1=,ξ2=,ξ3=,又向量β=.(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出;(2)求An β(n为自然数).

设矩阵A满足:对任意x1,x2,x3均有A=(1)求A.(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A,使得P-1AP=Λ.

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1,对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T,求A.

已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值;(2)问A能否相似于对角阵?说明理由.

设A为n阶矩阵,|A|≠0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ,则(A*)2+E必有特征值____________.

设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是__________.

设A为3阶矩阵,A=,则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是【 】

设σ为n维线性空间V的一个线性变换,σ2=σ,证明:(1)σ特征值为0,1;(2)设V0,V1分别为0,1对应的特征子空间,则V=V0⊕V1;(3)若σ只有0特征值,则σ为零变换.

假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明:(1) 1/λ为A-1的特征值;(2) |A|/λ为A的伴随矩阵A*的特征值.