计算题(2003年春电子科技大学

用列主元法解方程组

答案解析

x3=1,x2=-1,x1=0.

讨论

对方程组,试问用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛?为什么?

设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=。(1)试求能使Jacobi迭代法收敛的a的取值范围;(2)对该方程组写出Jacobi迭代格式(设b=(b1,b2,b3)T已知)。

数值求积f(x)dx时(1)试写出直接用梯形公式的计算式T1;(2)将[a,b]n等分,用Tn表示用复化梯形公式求得的积分值,试写出Tn的计算式;(3)若将步长分半(即步长二分),试给出T2n与Tn的递推关系;(4)若用精度控制|T2n - Tn |<ε,试写出“变步长梯形法”的算法框图.

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点,li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式(也称为插值基本函数)。证明:(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

设f(x)在含节点xi (i=0,…,n)的区间[a,b]上n+1次可微,Pn (x)是f(x)关于给定的n+1个节点的n次插值多项式,证明:对于任意x∈[a,b],存在与x有关的ξ∈(a,b),使得f(x)-Pn (x)=f(n+1) (ξ))/(n+1)!· (x-x0 )(x-x1 )…(x-xn).

设A=,求‖x‖1,‖x‖F,‖x‖∞.

若x=(-1,2,3,0,4),求‖x‖1,‖x‖2,‖x‖∞.

设Γ是上半球面x2+y2+z2=R2 (z≥0)上的光滑曲线,起点和终点分别在平面z=0,z=R/2上,曲线的切线与z轴正方向的夹角为常数α∈(0,π/6),求曲线Γ的长度.

若f(x):(0,π)→R连续,f(x)>0,f(π/2)=1,且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x)),求f(x)的表达式.

一卡车沙子通过传送带卸货,假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体,且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高,如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙,问当圆锥达到3米高时,卸了多少时间,此时圆锥高h的增长速度为多少?

设A=(α1,α2,α3,α4)为4阶正交矩阵,若矩阵A = ,β = ,k表示任意常数,则线性方程组Ax=β的通解为x=【 】

设h(z)是关于自然变量z的多项式.考虑系数在多项式环C[z]中的关于y的三次方程y3-3zy+h(z)=0.(i)当h(z)=-z3-1时,找到此方程的至少一个一次多项式函数解.(ii)假设方程y3-3zy+h(z)=0有三个互不相等的整函数解y=f1(z),f2(z),f3(z),则h(z)可以取哪些多项式?注:整函数指在整个复平面上解析的函数.

设A=,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t=______.

已知线性方程组(I)的一个基础解系为(b11,b12,…,b1 2n)T,(b21,b22,…,b2 2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn 2n)T,试写出线性方程组(II)有通解,并说明理由.

设A,B为n阶矩阵,E为单位矩阵.若方程组Ax=0与Bx=0同解,则【 】

设3阶矩阵A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3),若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出,则【 】

要使ξ1=,ξ2=都是方程组Ax=0的解,只要系数矩阵A为【 】

设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组Ax=0的通解为____________.

设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为,又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1 (0,1,1,0)+k2 (-1,2,2,1).(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系;(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵且A11≠0,b≠0,其中A11为A的a11对应的代数余子式.证明:AX=b有无穷多个解⟺b是A* X=0的解.