设矩阵A=,b=
,则线性方程组Ax=b解的情况为【 】
A、无解
B、有解
C、有无穷多解或无解
D、有唯一解或无解
设A,B为n阶矩阵,E为单位矩阵.若方程组Ax=0与Bx=0同解,则【 】
A、方程组y=0只有零解
B、方程组y=0只有零解
C、方程组y=0与
y=0同解
D、方程组y=0与
y=0同解
已知线性方程组
(I)
的一个基础解系为(b11,b12,…,b1 2n)T,(b21,b22,…,b2 2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn 2n)T,试写出线性方程组
(II)
有通解,并说明理由.
(Ⅱ)的通解为
y=C1(a11,a12,…,a1 2n)T+C2(a21,a22,…,a2 2n)T+⋯+Cn(an1,an2,…,an 2n)T,
其中C1,C2,…,Cn为任意常数.
理由:方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的系数矩阵分别记为A,B,则由题设可知ABT=0,于是BAT=ABT=0,可见A的n个行向量的转置向量为(Ⅱ)的n个解向量.
由于B的秩r(B)为n,故(Ⅱ)的解空间维数为2n-r(B)=2n-n=n.又A的秩r(A)=2n,与(Ⅰ)的解空间维数之差为n,故A的n个向量线性无关,从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系,于是得到(Ⅱ)的上述通解.
设A=,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t=______.
-3
设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为,又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1 (0,1,1,0)+k2 (-1,2,2,1).
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系;
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
(1)由题设,(Ⅰ)的系数矩阵为,
易求得其基础解系为(0,0,1,0),(-1,1,0,1),其通解为k3(0,0,1,0)+k4(-1,1,0,1).
(2)令k1 (0,1,1,0)+k2 (-1,2,2,1)=k3 (0,0,1,0)+k4 (-1,1,0,1).
解得k1=-k,k2=k3=k4=k,故其非零公共解为
-k(0,1,1,0)+k(-1,2,2,1)=k(-1,1,1,1)(k≠0,为任意常数).