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考研2022年理工数学Ⅱ( )

设矩阵A=,b=,则线性方程组Ax=b解的情况为【 】

A、无解

B、有解

C、有无穷多解或无解

D、有唯一解或无解

有唯一解或无解

考研2022年理工数学Ⅰ( )

设A,B为n阶矩阵,E为单位矩阵.若方程组Ax=0与Bx=0同解,则【 】

A、方程组y=0只有零解

B、方程组y=0只有零解

C、方程组y=0与y=0同解

D、方程组y=0与y=0同解

方程组y=0与y=0同解

考研1998年理工数学Ⅰ( )

已知线性方程组

(I)

的一个基础解系为(b11,b12,…,b1 2n)T,(b21,b22,…,b2 2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn 2n)T,试写出线性方程组

(II)

有通解,并说明理由.

(Ⅱ)的通解为

y=C1(a11,a12,…,a1 2n)T+C2(a21,a22,…,a2 2n)T+⋯+Cn(an1,an2,…,an 2n)T

其中C1,C2,…,Cn为任意常数.

理由:方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的系数矩阵分别记为A,B,则由题设可知ABT=0,于是BAT=ABT=0,可见A的n个行向量的转置向量为(Ⅱ)的n个解向量.

由于B的秩r(B)为n,故(Ⅱ)的解空间维数为2n-r(B)=2n-n=n.又A的秩r(A)=2n,与(Ⅰ)的解空间维数之差为n,故A的n个向量线性无关,从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系,于是得到(Ⅱ)的上述通解.

考研1997年理工数学Ⅰ( )

设A=,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t=______.

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考研1994年理工数学Ⅰ( )

设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为,又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1 (0,1,1,0)+k2 (-1,2,2,1).

(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系;

(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

(1)由题设,(Ⅰ)的系数矩阵为

易求得其基础解系为(0,0,1,0),(-1,1,0,1),其通解为k3(0,0,1,0)+k4(-1,1,0,1).

(2)令k1 (0,1,1,0)+k2 (-1,2,2,1)=k3 (0,0,1,0)+k4 (-1,1,0,1).

解得k1=-k,k2=k3=k4=k,故其非零公共解为

-k(0,1,1,0)+k(-1,2,2,1)=k(-1,1,1,1)(k≠0,为任意常数).