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南京大学 · 1996年 · 类型 · 4分 · 难度: · 思考时间:180秒

lim x->+∞image007-0.png=.

- 1/3

令x=1/t,并运用洛必达法则,则

原式=lim t->0+image007-2.png=lim t->0+image007-3.png

=1/3•1•2-1=-1/3

莫斯科钢铁与合金学院 · 1976年 · 竞赛题 · 8分 · 难度: · 思考时间:480秒

设x>0时,f(x)=(1+x)^1/x,求证:x→0+时,f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2),并求A,B之值.

应用ln(1+x)与ex的马克劳林展式,有

f(x)=(1+x)^1/x=exp(1/xln(1+x))

=exp(1/x(x-1/2x2+1/3x3+o(x3)))

=exp(1-1/2x+1/3x2+o(x2)))

=e•exp(-1/2x+1/3x2+o(x2))

= e•[1+(-1/2x+1/3x2)+( -1/2x+1/3x2)2+ o(x2)]

=e-1/2ex+11/24ex2+o(x2)

A=-1/2e,B=11/24e.

暂无分析
江苏省 · 2002年 · 竞赛题 · 8分 · 难度: · 思考时间:280秒

已知lim x->0 image008-0.png=c(c≠0),求k和c.

应用等价无穷小代换与洛必达法则,有

lim x->0 image008-0.png=lim x->0image008-1.png=lim x->0image008-2.png=lim x->0image008-3.png

=lim x->0image008-4.png=2lim x->0image008-5.png=c

因为c≠0,所以k-1=2,于是

原式=2lim x->0image008-6.png=1/3=c

所以k=3,c=1/3.

暂无分析
莫斯科铁路运输工程学院 · 1977年 · 竞赛题 · 10分 · 难度: · 思考时间:600秒

不查表,求方程

x2sin1/x=2x-1977

的近似解,精确到0.001.

x≠0时,令u=1/x,应用sinu的马克劳林公式,有

sinu=u+1/2!(-sin(θu))u2

这里0<θ<1.于是有sin1/x=1/x-1/2x2sinθ/x

代入原方程得x=1977-1/2sinθ/x

记α=-1/2sinθ/x . 因-1/2<α<1/2,故x>1976,0<1/x<1/1976,0<θ/x<1/1976,于是

|α|=1/2sinθ/x<1/2θ/x<1/2*1976<0.001

X=1977+α≈1977.

暂无分析
南京大学 · 1995年 · 竞赛题 · 4分 · 难度: · 思考时间:240秒

当x→0时,1-cosxcos2xcos3x对于无穷小x的阶数等于 .

2

应用cosx的马克劳林展式,x→0时,有

1-cosxcos2xcos3x

=1-[1-1/2x2+o(x2)] [1-1/2(2x)2+o(x2)] [1-1/2(3x)2+o(x2)]

=7x2+o(x2)

所以原式的无穷小阶数等于2.