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江苏省 · 1991年 · 竞赛题 · 3分 · 难度: · 思考时间:20秒

函数y=sinx|sinx|(其中|x|≤π/2)的反函数为.

20190219193908.png

当0≤x≤π/2时y=sin2x,即sinx=√x(0≤x≤1),所以x=arcsin√y(0≤y≤1);

当-π/2≤x≤0时y=-sin2x(-1≤x≤0),所以sin2x=-y,sinx=-√(-y),x=arcsin(-√(-y))=-arcsin(√(-y)) (-1≤x≤0).

于是所求反函数为

20190219193908.png

江苏省 · 2004年 · 竞赛题 · 3分 · 难度: · 思考时间:20秒

已知函数f(x)是周期为π的奇函数,且当x∈(0,π/2)时f(x)=sinx-cosx+2,则当x∈(π,π/2)时f(x)=.

sinx+cosx-2

因为f(x)是奇函数,所以当-π/2<x<0时

f(x)=-f(-x)=-(sin(-x)-cos(-x)+2)

=sinx+cosx-2

又因为f(x)是周期为π的函数,所以当π/2<x<π时

f(x)=f(x-π)=sin(x-π)+cos(x-π)-2

=-sinx-cosx-2

考研 · 2006年 · 考试题 · 8分 · 难度: · 思考时间:30秒

设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,...).证明20190216204018.pngxn存在,并求该极限.

由0<x1<π,可知x2=sinx1∈(0,1)⊂(0,π/2),于是对于∀n≥2,有xn∈(0,1),故数列{xn}有界.

又当x≥0时,得sinx≤x,所以xn+1=sinxn≤xn,即数列{xn}单调有界,由极限的存在准则可知,极限20190216204018.pngxn存在.

不妨假设20190216204018.pngxn=A,等式xn+1=sinxn两边同时求极限得,A=sinA,解得A=0,因此20190216204018.pngxn=0.

暂无分析
考研 · 2008年 · 考试题 · 3分 · 难度: · 思考时间:15秒

设函数f(x)在(-∞,+∞)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是【 】

65若{xn}收敛,则{f(xn)}收敛

66若{xn}单调,则{f(xn)}收敛

67若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛

68若{f(xn)}单调,则{xn}收敛

若{xn}单调,则{f(xn)}收敛

若{xn}单调,由于f(x)在(-∞,+∞)内单调有界,因此数列{f(xn)}单调有界,从而根据单调有界准则可知,数列{f(xn)}收敛.

考研 · 2004年 · 考试题 · 5分 · 难度: · 思考时间:30秒

求极限20190215215606.png20190216213249.png[20190216213344.png-1].

当x→0时,ex-1 ~x,ln(1+x) ~x,因此

原式=20190215215606.png20190217205058.png=20190215215606.png20190217205137.png=20190215215606.png20190217205226.png

=20190215215606.png20190217205310.png=20190215215606.png20190217205350.png=20190215215606.png20190217205435.png=-20190217205529.png.

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