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江苏省 · 2012年 · 竞赛题 · 8分 · 难度: · 思考时间:50秒

设y=ln(1-x2),求y(n).

由于

y=ln(1-x2)=ln(1+x)+ln(1-x)

y′=1/(x+1)+1/(x-1)

y(n)=+

=(-1)n-1(n-1)!()

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广东省 · 1991年 · 竞赛题 · 8分 · 难度: · 思考时间:60秒

设f(x)=(n=1,2,3,…),求f(n)(x).

应用多项式除法,有

f(x)=

由于(xk)(n)=0 (k=0,1,2,…,n-1),

=(-1)n=(-1)n,所以

f(n)(x)=[+],n=1,2,3,…

暂无分析
全国大学生竞赛 · 2009年 · 竞赛题 · 4分 · 难度: · 思考时间:40秒

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定,其中具有二阶导数,f'≠1,则d方y比dx方,二阶导数= .

显见x>0,原式两边取对数得

lnx+f(y)=y+lnln29

两边对x求导数得

1/x +f′(y)y′=y′ (*)

由(*)式可得 y′= 1/(x(1-f'(x)))

(*)式两边对x再求导数得  -1/(x2) + f″(y)(y′)2 + f(y′)y″= y″

出此解出y″,并利用y′的表达式可得

y″===.

南京大学 · 1996年 · 竞赛题 · 10分 · 难度: · 思考时间:60秒

证明:两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

曲线ρ=α(1+cosθ)化为参数方程为

x=α(1+cosθ) cosθ,y= α(1+cosθ)sinθ

其斜率为

k1 = dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) = (cosθ+cos2θ)/(-sinθ-sin2θ) 

曲线ρ=α(1-cosθ)化为参数方程为

x=α(1-cosθ) cosθ,y= α(1-cosθ)sinθ

其斜率为

k2 = dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) = (cosθ-cos2θ)/(-sinθ+sin2θ) 

再求两曲线的交点.

ρ=α(1+cosθ),ρ=α(1-cosθ),解得cosθ=0,于是交点的极坐标为(π/2,α)与(π3/2,α).

在θ=π/2 处,k1 = =1,k2 = =-1,因为k1k2=-1,所以两曲线在交点(π/2,α)处的切线相互垂直.

在θ=π3/2 处,k1 = =1,k2 =  =-1,因为k1k2=-1,所以两曲线在交点(π3/2,α)处的切线相互垂直.

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江苏省 · 2017年 · 竞赛题 · 8分 · 难度: · 思考时间:60秒

已知函数y=f(x)在x=2处连续,且

lim x->2(f(x)-3x+2)/(x-2)=2

求证f(x)在x=2处可导,并求f'(x)=2.

由y=f(x)在x=2处连续与已知极限得

lim x->2(f(x)-3x+2)=f(2)-4=0 ⇒ f(2)=4

因为

lim x->2=lim x->2(f(x)-4)/(x-2)

=lim x->2f(x)-3x+2+3(x-2)

=lim x->2(f(x)-3x+2)/(x-2)+3

=2+3=5.

所以f(x)在x=2处可导,且f'(x)=5.

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