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设y=ln(1-x2)，求y(n).
由于
y=ln(1-x2)=ln(1+x)+ln(1-x)
y′=
+
故
y(n)=
+
=(-1)n-1(n-1)!(
)
设f(x)=
(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).
应用多项式除法，有
f(x)=
由于(xk)(n)=0 (k=0,1,2,…,n-1)，
=(-1)n
，
=(-1)n
，所以
f(n)(x)=
[
+
]，n=1,2,3,…
设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则
= .
显见x>0，原式两边取对数得
lnx+f(y)=y+lnln29
两边对x求导数得
+f′(y)y′=y′ (*)
由(*)式可得 y′= 
.
(*)式两边对x再求导数得 -
+ f″(y)(y′)2 + f(y′)y″= y″
出此解出y″，并利用y′的表达式可得
y″=
=
=.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
曲线ρ=α(1+cosθ)化为参数方程为
x=α(1+cosθ) cosθ，y= α(1+cosθ)sinθ
其斜率为
k1 = 
= 
= 
曲线ρ=α(1-cosθ)化为参数方程为
x=α(1-cosθ) cosθ，y= α(1-cosθ)sinθ
其斜率为
k2 = = = 
再求两曲线的交点.
由
，解得cosθ=0，于是交点的极坐标为(
,α)与(
,α).
在θ= 处，k1 =
=1，k2 = 
=-1，因为k1k2=-1，所以两曲线在交点(,α)处的切线相互垂直.
在θ= 处，k1 = =1，k2 = =-1，因为k1k2=-1，所以两曲线在交点(,α)处的切线相互垂直.
已知函数y=f(x)在x=2处连续，且
=2
求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.
由y=f(x)在x=2处连续与已知极限得
(f(x)-3x+2)=f(2)-4=0 ⇒ f(2)=4
因为
=
=
=
+3
=2+3=5.
所以f(x)在x=2处可导，且f'(x)=5.
