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一个国家共有n座城市，其中整数n≥100.某些城市之间有双向直飞航班.对于两座城市 A,B，我们定义:(ⅰ)从A到B的路径为一列互不重复的城市序列A=C0,C1,⋯,Ck,Ck+1=B(k≥0)，其中对任意0≤i≤k，城市与之间有直飞航班；(ⅱ)从A到B的长路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更多城市；(ⅲ)从A到B的短路径是指一条路径，使得不存在其他从A到B的路径包含更少城市.已知对于任意两座城市A和B，均存在一条长路径和一条短路径，且这两条路径除A和B外没有其他共同城市.设F为该国家中通过直飞航班连接的城市对的总数，求F的所有可能值.
求所有的函数f:R→R，使得对任意实数x,y，都有f(x+yf(x))+y=xy+f(x+y).
如图，在锐角△ABC中，H是垂心，D是边BC上任意一点，点E,F分别在边AB,AC上，满足A,B,D,F和A,C,D,E共圆，线段BF与CE交于点P,L是AH上的一点，且LC与△PBC的外接圆相切，BH,CP交于点X，求证：D,X,L三点共线.
称整数n>1是好数，如果存在1,2,⋯,n的一个排列a1,a2,⋯,an，满足：⑴ 对1≤i≤n-1,ai与ai+1不同奇偶；⑵ 对1≤k≤n,a1+a2+⋯+ak是模n的二次剩余.求证：存在无穷多个好数，也存在无穷多个正整数不是好数.
已知a1,a2,⋯,an为实数，且∑i=1nai =n,∑i=1nai² =2n,∑i=1nai³ =3n.(1)求最大的常数C，使得对所有n≥3，均有max{a1,a2,⋯,an }-min{a1,a2,⋯,an }≥C；(2)证明存在常数C2>0使得max{a1,a2,⋯,an }-min{a1,a2,⋯,an }+C≥C2n-3，其中C为(1)中的常数.
设p为给定素数，f为{0,1,…,p-1}到自身的一个双射.若f满足：当p|a²-b²时，|f(a)-f(b)|≤2024.求证：有无穷多个p使得f存在，也有无穷多个p使得f不存在.
对于R²中任意两点(x1,y1 ),(x2,y2)，定义该两点之间的小数距离为：√(‖x1-x2 ‖²+‖y1-y2 ‖² )其中‖x‖表示实数x离最近整数的距离.求最大的实数r，使得平面上存在四个点，两两之间的小数距离均不小于r.
给定整数a1>a2>⋯>an>1，记M=lcm(a1,a2,⋯,an )，对任意非空有限正整数集X，定义f(X)=min1≤i<n∑x∈X{x/ai } 若对X的任意真子集Y，有f(Y)<f(X)，则称X是极小的.设X是极小的，且f(X)≥2/an .求证：|X|≤f(X)∙M.
在△ABC中，I为内心，L,M,N分别为，AI,AC,CI的中点，D在线段AM上，满足BC=BD，△ABD的内切圆切边AD,BD于E,F,J为△AIC的外心，ω为△JMD的外接圆，MN再次交ω于P,JL再次交ω于Q，证明：PQ,LN,EF三线交于一点.
给定无理数α>1,L∈Z，满足L>α²/(α-1)，数列{xn}满足x1>L，且xn+1=(1)证明：{xn}最终周期；(2)证明：{xn}最终的最小正周期是一个与x1无关的奇数.
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