大学数学-考博试题(电子科技大学 2003年春定积分的概念与性质)

问答题（2003年春电子科技大学）

数值求积f(x)dx时

(1)试写出直接用梯形公式的计算式T₁；

(2)将[a,b]n等分，用T_n表示用复化梯形公式求得的积分值，试写出T_n的计算式；

(3)若将步长分半（即步长二分），试给出T_2n与T_n的递推关系；

(4)若用精度控制|T_2n - T_n |<ε，试写出“变步长梯形法”的算法框图.

答案解析

(1)T_1=(b-a)/2(f(a)+f(b))；(2) Tn=h/2[(f(a)+2f(xk)+f(b)]；(3)对于[xk,xk+1]，在该子段上二分前后的两个积分值T1=h/2[f(xk )+f(xk+...

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讨论

大学数学

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

设f(x)在含节点xi (i=0,…,n)的区间[a,b]上n+1次可微，Pn (x)是f(x)关于给定的n+1个节点的n次插值多项式，证明：对于任意x∈[a,b]，存在与x有关的ξ∈(a,b)，使得f(x)-Pn (x)=f(n+1) (ξ))/(n+1)!· (x-x0 )(x-x1 )…(x-xn).

设A=，求‖x‖1,‖x‖F,‖x‖∞.

若x=(-1,2,3,0,4)，求‖x‖1,‖x‖2,‖x‖∞.

设Γ是上半球面x2+y2+z2=R2 (z≥0)上的光滑曲线，起点和终点分别在平面z=0,z=R/2上，曲线的切线与z轴正方向的夹角为常数α∈(0,π/6)，求曲线Γ的长度.

若f(x):(0,π)→R连续，f(x)>0,f(π/2)=1，且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x))，求f(x)的表达式.

一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？

计算(sin⁡(x3y)+x2y)dxdy，其中D由y=x3,y=-1和x=1围成的有限闭区域.

设a1=1,an=sinan-1 (n≥2)，证明：an≥(n≥2).

求级数(n2+1)/n!的和.

定积分

证明：sin⁡(x²)dx>0.

设f∈[0,2π]，证明：f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

设f(x)在(0,1)可微，且有x2 f(x) dx=0，证明：存在θ∈(0,1)，使得f' (θ)=-f(θ)/θ.

设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)取正值，由积分中值定理有f(t)g(t)dt=f(ξ)g(t) dt(a≤ξ≤x≤b)若f+' (a)存在且f+' (a)≠0，求(ξ-a)/(x-a).

求积分I(a)=arctan⁡(ax)/(x(1+x2)) dx,a>0.

判断dx/(ex+1)的敛散性.

求定积分x(sinx)arctan⁡(e-x)/(1+cos2⁡x )dx

设连续函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=x,f(x)dx=0，则f(x)dx=______.

设x,t>0，则含参变量积分I(t)=(e-x -e-xt)/x dx=________.

证明：xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中，a>0为常数.

定积分的概念与性质

设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续，求证：1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2 maxx∈[a,b] ⁡|f'(x)|,x∈[a,b]

当某公司推出一个新的社交软件时，公司的市场部门除了会关心该软件的活跃客的总人数随时间的变化，也会对客户群体的一些特征做具体的调研和分析。我们用n(t,x)表示客户的数量密度(以下简称密度)，这里t表示时间，而x表示客户对该社交软件的使用时长，那么在t时刻，对于0<x1<x2，使用时长介于x1和x2之间的客户数量为n(t,x)dx。我们假设，密度n(t,x)随着时间演化受以下几个因素的影响：假设1.当客户持续使用该社交软件时,他的使用时长随时间线性增长。假设2.客户在使用过程中，可能会停止使用，我们假设停止速率d(x)>0只跟使用时长x有关。假设3.新客户的来源有两个。①公司的宣传：单位时间内因此增加的人数是时间的函数，用c(t)表示。②老客户的宣传：老客户会主动向自己的同事、朋友等推荐使用该社交软件，推荐成功的速率跟客户的使用时长x有关，记作b(x)。假设如果在某一时刻，记为t=0时，密度函数是已知的，n(0,x)=n0 (x)。可以推导出，n(t,x)的时间演化满足如下的方程 (1)这里N(t)可解读为新客户的增加速率。我们假设b,d∈(0,∞)，即b(x)和d(x)正且(本质)有界。以下,我们先做一个简化假设：c(t)≡0，即新客户的增加只跟老客户的宣传有关。(i)问答题(10分)根据假设1和假设2，形式地推导出(1)中n(t,x)所满足的偏微分方程，需要在推导过程中指出模型假设和数学表达式之间的对应关系。再根据假设3，解释(1)中N(t)的定义的含义。(ii)问答题(10分)我们想要研究新客户的增加速率N(t)和推荐成功速率b(x)之间的关系。为此,请推导出一个N(t)所满足的方程，且方程中只包含N(t),n0 (x),b(x),d(x)，而不包含n(t,x)。并证明，N(t)满足如下估计|N(t)|≤‖b‖∞|n0 (x)|dx,这里‖∙‖∞表示L∞范数。(iii)证明题(10分)最后，我们想要研究，在充分长的时间之后，数量密度函数n(t,x)有什么渐近的趋势。由于客户总人数可能一直在增加，所以我们不方便直接研究数量密度函数n(t,x)，而更应该去看一个重整化的密度函数。为此，我们首先假设如下的特征值问题有唯一解(λ0,φ(x))：并且它的对偶问题也有唯一的解ψ(x)：然后，我们定义重整化密度n ̃(t,x)≔n(t,x)e-λ0 t。证明，对于任意凸函数H:R+→R+满足H(0)=0，我们有d/dt ψ(x)φ(x)H()dx≤0,∀t≥0,并证明ψ(x)n(t,x))dx=eλ0t ψ(x) n0 (x)dx.

d/dx xcost2dt=______________.

下列两个积分的大小关系是：dx_______dx.

设F(x)=esintsintdt，则F(x)【】

设I1=x/2(1+cosx) dx,I2=ln⁡(1+x)/(1+cosx) dx,I3=2x/(1+sinx) dx，则【】

设连续函数f(x)满足f(a+b-x)=f(x),∀x∈[a,b]，则积分xf(x)dx等于【】

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【】

南京大学定积分的概念与性质

设M=sinx/(1+x2)cos4⁡x dx,N=(sin3x+cos4⁡x )dx,P=(x2sin3⁡x-cos4⁡x)dx，则有【】