大学数学-考研试题(武汉大学 2022年定积分的概念与性质)

问答题（2022年武汉大学）

设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)取正值，由积分中值定理有

f(t)g(t)dt=f(ξ)g(t) dt(a≤ξ≤x≤b)

若f₊' (a)存在且f₊' (a)≠0，求(ξ-a)/(x-a).

答案解析

由已知条件得：f(ξ)=(f(t)g(t)dt)/(g(t)dt)所以，(ξ-a)/(x-a)=(ξ-a)/(f(ξ)-f(a))∙(f(ξ)-f(a))/(x-a)=1/(f+' (a)) (f(ξ)-f(a))/(x-a)=1/(f+' (a)) ⁡(f(t)g(t) dt-f(a)g(t) dt)/((x-...

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讨论

大学数学

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

计算(2-x-2cosx)/(xex-ln⁡(1+x))

试问：级数(1+1/2+⋯+1/n)/(n(n+2))是否收敛？若收敛，试求它的和.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数，并且g(0)=1，令f(r)=∭x^2+y^2+z^2≤r^2 g(x2+y2+z2)dxdydz,r≥0证明：f(r)在r=0处三阶可导，并求f+''' (0).

设函数项级数ne-nx ,x∈(0,+∞).(1)证明此级数在(0,+∞)上收敛但不一致收敛；(2)求此级数的和函数；(3)给出数项级数n/e3n 的和.

设函数f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导，且f(a)=f(b)=0,f' (a) f' (b)>0，证明：在开区间(a,b)内存在点x1,x2,x3，使得f(x1)=0,f'(x2)=0,f''(x3)=0.

计算积分∬SzdS，其中S为曲面x2+z2=2az(a>0)被曲面z=所截的部分.

先说明广义积分dx/(a4+x4 )收敛（a>0是常数），再计算其积分值.

定积分

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

设f(x)连续，则d/dx tf(x2-t2)dt等于【】

d/dx sin⁡(x-t)2dt=________.

计算积分xm-1/(1+xn) dx，其中0<m<n.

利用留数定理计算下列积分cos(bx)dx（a>0,b为实数）

利用δ函数的性质，计算积分δ(x2+1)sinxdx.

求定积分sinθ/(sinθ+cosθ) dθ.

设函数f(x)在开区间[0,1]上可微，f(0)=0，且在[0,1]内0<f'(x)<1，证明：(1)对于任意x∈(0,1),f(t)dt>1/2 f2 (x);(2) (f(x)dx)2>f3(x)dx.

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

定积分的概念与性质

设I1=x/2(1+cosx) dx,I2=ln⁡(1+x)/(1+cosx) dx,I3=2x/(1+sinx) dx，则【】

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【】

设连续函数f(x)满足f(a+b-x)=f(x),∀x∈[a,b]，则积分xf(x)dx等于【】

南京大学定积分的概念与性质

设f∈[0,2π]，证明：f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

设f(x)在(0,1)可微，且有x2 f(x) dx=0，证明：存在θ∈(0,1)，使得f' (θ)=-f(θ)/θ.

当某公司推出一个新的社交软件时，公司的市场部门除了会关心该软件的活跃客的总人数随时间的变化，也会对客户群体的一些特征做具体的调研和分析。我们用n(t,x)表示客户的数量密度(以下简称密度)，这里t表示时间，而x表示客户对该社交软件的使用时长，那么在t时刻，对于0<x1<x2，使用时长介于x1和x2之间的客户数量为n(t,x)dx。我们假设，密度n(t,x)随着时间演化受以下几个因素的影响：假设1.当客户持续使用该社交软件时,他的使用时长随时间线性增长。假设2.客户在使用过程中，可能会停止使用，我们假设停止速率d(x)>0只跟使用时长x有关。假设3.新客户的来源有两个。①公司的宣传：单位时间内因此增加的人数是时间的函数，用c(t)表示。②老客户的宣传：老客户会主动向自己的同事、朋友等推荐使用该社交软件，推荐成功的速率跟客户的使用时长x有关，记作b(x)。假设如果在某一时刻，记为t=0时，密度函数是已知的，n(0,x)=n0 (x)。可以推导出，n(t,x)的时间演化满足如下的方程 (1)这里N(t)可解读为新客户的增加速率。我们假设b,d∈(0,∞)，即b(x)和d(x)正且(本质)有界。以下,我们先做一个简化假设：c(t)≡0，即新客户的增加只跟老客户的宣传有关。(i)问答题(10分)根据假设1和假设2，形式地推导出(1)中n(t,x)所满足的偏微分方程，需要在推导过程中指出模型假设和数学表达式之间的对应关系。再根据假设3，解释(1)中N(t)的定义的含义。(ii)问答题(10分)我们想要研究新客户的增加速率N(t)和推荐成功速率b(x)之间的关系。为此,请推导出一个N(t)所满足的方程，且方程中只包含N(t),n0 (x),b(x),d(x)，而不包含n(t,x)。并证明，N(t)满足如下估计|N(t)|≤‖b‖∞|n0 (x)|dx,这里‖∙‖∞表示L∞范数。(iii)证明题(10分)最后，我们想要研究，在充分长的时间之后，数量密度函数n(t,x)有什么渐近的趋势。由于客户总人数可能一直在增加，所以我们不方便直接研究数量密度函数n(t,x)，而更应该去看一个重整化的密度函数。为此，我们首先假设如下的特征值问题有唯一解(λ0,φ(x))：并且它的对偶问题也有唯一的解ψ(x)：然后，我们定义重整化密度n ̃(t,x)≔n(t,x)e-λ0 t。证明，对于任意凸函数H:R+→R+满足H(0)=0，我们有d/dt ψ(x)φ(x)H()dx≤0,∀t≥0,并证明ψ(x)n(t,x))dx=eλ0t ψ(x) n0 (x)dx.

数值求积f(x)dx时(1)试写出直接用梯形公式的计算式T1；(2)将[a,b]n等分，用Tn表示用复化梯形公式求得的积分值，试写出Tn的计算式；(3)若将步长分半（即步长二分），试给出T2n与Tn的递推关系；(4)若用精度控制|T2n - Tn |<ε，试写出“变步长梯形法”的算法框图.

用Romberge方法求dx的近似值。（给定n=4）

设f(x)在[0,1]上连续，f(x)dx=0,xf(x)dx=1，则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.