大学数学-考研试题(同济大学 2022年反常积分的审敛法)

问答题（2022年同济大学）

先说明广义积分dx/(a⁴+x⁴ )收敛（a>0是常数），再计算其积分值.

答案解析

∵f(x)=1/(a4+x4 )为偶函数，∴dx/(a4+x4 )=2dx/(a4+x4 )=2dx/(a4+x4 )+dx/(a4+x4 )，dx/(a4+x4 )为定积分，故收敛.对于dx/(a4+x4 )，因为1/(a4+x4 )≤1/x4 ≤1/x2 (x≥1)，而dx/x2 收敛，故由比较原则知dx/(a4+x4 )收敛，∴广义积分dx/(a4+x4 )收敛.dx/(a4+x4 )=1/(2a2 ) (a2+x2+a2-x2)/(a4+x4 ) dx=1/(2a2 ) [(a2+x2)/(a4+x4 ) dx+(a2-x2)/(a4+x4 ) dx]=1/(2a2 ) [(a2/x2 +1)/(a4/x2 +x2 ) dx+(a2/x2 -1)/(a...

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讨论

大学数学

验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.

(xk-1)/(xλx-1)，其中k是正整数，λ≠0是常数.

xy (3x-4y)/(x2+y2)

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ，其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

设f(x)在(0,1)可微，且有x2 f(x) dx=0，证明：存在θ∈(0,1)，使得f' (θ)=-f(θ)/θ.

计算 ∬∑x3dydz，其中∑: x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1,z≥0，取外侧.

已知z3-xyz=a3，求zxx,zyx.

讨论1/alnn (a>0)的敛散性.

计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.

反常积分的审敛法

设p为常数，若反常积分lnx/(xp(1-x)1-p) dx收敛，则p的取值范围是【】

讨论sinbx/xλ dx(b≠0)的绝对收敛性和条件收敛性.

求证：J=ln⁡(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.

证明：广义积分lnx/√x dx收敛.

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负，且广义积分f(x)dx收敛，证明：xf(x)dx=0.

证明含参广义积分F(a)=e-axsinxdx在(0,+∞)连续，但非一致收敛.

已知f(x)dx条件收敛，且f+(x)=(|f(x)|+f(x))/2,f-(x)=(|f(x)|-f(x))/2证明：(1) f+(x)dx,f-(x)dx均发散到+∞;(2)当A→+∞时，f+(x) dx与f-(x)dx等价.

求积分I(a)=arctan⁡(ax)/(x(1+x2)) dx,a>0.

判断dx/(ex+1)的敛散性.

设[a,+∞)上非负连续函数f可导，且具有连续导函数，若存在r>1，使xf'(x)/f(x)≤-r，证明：反常积分f(x)dx收敛.

定积分

设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F'(x)等于【】

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3f(x)dx=f(0)，证明：在(0,1)内存在一点c，使f'(c)=0.

设M=sinx/(1+x2)cos4⁡x dx,N=(sin3x+cos4⁡x )dx,P=(x2sin3⁡x-cos4⁡x)dx，则有【】

d/dx xcost2dt=______________.

下列两个积分的大小关系是：dx_______dx.

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

设F(x)=esintsintdt，则F(x)【】

设f(x)连续，则d/dx tf(x2-t2)dt等于【】

d/dx sin⁡(x-t)2dt=________.

设I1=x/2(1+cosx) dx,I2=ln⁡(1+x)/(1+cosx) dx,I3=2x/(1+sinx) dx，则【】