大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1990年定积分的概念与性质)

填空题（1990年理工数学Ⅱ）

下列两个积分的大小关系是：dx_______dx.

答案解析

>

讨论

大学数学

xdx=__________.

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

曲线对应于t=π/6点处的法线方程是____________.

设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

确定函数y=(x+1)/x2 的单调区间、极值、凸凹区间、拐点以及渐近线.

设ξ,η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为P{ξ=i}=1/3,i=1,2,3，又设X=max⁡(ξ,η),Y=min⁡(ξ,η).(1)写出二维随机变量(X,Y)的分布律；(2)求随机变量X的数学期望E(X).

已知二次型f(x1,x2,x3 )=5x12+5x22+cx32-2x1 x2+6x1 x3-6x2 x3的秩为2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程f(x1,x2,x3 )=1表示何种二次曲面.

设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置，证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1;(2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵.

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a,|f''(x)|≤b，其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点，证明：|f'(c)|≤2a+b/2.

设对任意x>0，曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1/x f(t)dt，求f(x)的一般表达式.

定积分

|x|dx = ______.

当某公司推出一个新的社交软件时，公司的市场部门除了会关心该软件的活跃客的总人数随时间的变化，也会对客户群体的一些特征做具体的调研和分析。我们用n(t,x)表示客户的数量密度(以下简称密度)，这里t表示时间，而x表示客户对该社交软件的使用时长，那么在t时刻，对于0<x1<x2，使用时长介于x1和x2之间的客户数量为n(t,x)dx。我们假设，密度n(t,x)随着时间演化受以下几个因素的影响：假设1.当客户持续使用该社交软件时,他的使用时长随时间线性增长。假设2.客户在使用过程中，可能会停止使用，我们假设停止速率d(x)>0只跟使用时长x有关。假设3.新客户的来源有两个。①公司的宣传：单位时间内因此增加的人数是时间的函数，用c(t)表示。②老客户的宣传：老客户会主动向自己的同事、朋友等推荐使用该社交软件，推荐成功的速率跟客户的使用时长x有关，记作b(x)。假设如果在某一时刻，记为t=0时，密度函数是已知的，n(0,x)=n0 (x)。可以推导出，n(t,x)的时间演化满足如下的方程 (1)这里N(t)可解读为新客户的增加速率。我们假设b,d∈(0,∞)，即b(x)和d(x)正且(本质)有界。以下,我们先做一个简化假设：c(t)≡0，即新客户的增加只跟老客户的宣传有关。(i)问答题(10分)根据假设1和假设2，形式地推导出(1)中n(t,x)所满足的偏微分方程，需要在推导过程中指出模型假设和数学表达式之间的对应关系。再根据假设3，解释(1)中N(t)的定义的含义。(ii)问答题(10分)我们想要研究新客户的增加速率N(t)和推荐成功速率b(x)之间的关系。为此,请推导出一个N(t)所满足的方程，且方程中只包含N(t),n0 (x),b(x),d(x)，而不包含n(t,x)。并证明，N(t)满足如下估计|N(t)|≤‖b‖∞|n0 (x)|dx,这里‖∙‖∞表示L∞范数。(iii)证明题(10分)最后，我们想要研究，在充分长的时间之后，数量密度函数n(t,x)有什么渐近的趋势。由于客户总人数可能一直在增加，所以我们不方便直接研究数量密度函数n(t,x)，而更应该去看一个重整化的密度函数。为此，我们首先假设如下的特征值问题有唯一解(λ0,φ(x))：并且它的对偶问题也有唯一的解ψ(x)：然后，我们定义重整化密度n ̃(t,x)≔n(t,x)e-λ0 t。证明，对于任意凸函数H:R+→R+满足H(0)=0，我们有d/dt ψ(x)φ(x)H()dx≤0,∀t≥0,并证明ψ(x)n(t,x))dx=eλ0t ψ(x) n0 (x)dx.

数值求积f(x)dx时(1)试写出直接用梯形公式的计算式T1；(2)将[a,b]n等分，用Tn表示用复化梯形公式求得的积分值，试写出Tn的计算式；(3)若将步长分半（即步长二分），试给出T2n与Tn的递推关系；(4)若用精度控制|T2n - Tn |<ε，试写出“变步长梯形法”的算法框图.

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

用Romberge方法求dx的近似值。（给定n=4）

利用留数定理计算下列积分cos(bx)dx（a>0,b为实数）

利用δ函数的性质，计算积分δ(x2+1)sinxdx.

设f(x)在[0,1]上连续，f(x)dx=0,xf(x)dx=1，则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

求定积分sinθ/(sinθ+cosθ) dθ.

定积分的概念与性质

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=______.

设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2f(t)dt=________.

积分中值定理的条件是__________，结论是____________.

f'(2x)dx=__________.

设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F'(x)等于【】

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3f(x)dx=f(0)，证明：在(0,1)内存在一点c，使f'(c)=0.

设M=sinx/(1+x2)cos4⁡x dx,N=(sin3x+cos4⁡x )dx,P=(x2sin3⁡x-cos4⁡x)dx，则有【】

d/dx xcost2dt=______________.

证明：xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中，a>0为常数.

设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续，求证：1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2 maxx∈[a,b] ⁡|f'(x)|,x∈[a,b]