大学数学-竞赛试题(南京大学 1993年定积分的概念与性质)

证明题（1993年南京大学）

证明：

xa^sinxdx∙a^-cosx dx≥π³/4

其中，a>0为常数.

答案解析

令x=π/2+t,并应用奇函数在对称区间上积分的性质，有xasinx dx=(π/2+t) acostdt=π/2 acostdt+tacost dt=πacosx dx+0=πacosx dx代入...

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讨论

大学数学

证明：sin⁡(x²)dx>0.

考虑一个Lebesgue不可测集W⊂[0,1]，定义函数f(x)=证明：fy(x)=0，但存在一个δ>0，使得对于[0,2]中任意可测子集Eδ,m(Eδ )<δ，当y→∞时，函数列{fy(x)}在[0,2]Eδ上不一致收敛到0.

叙述Egoroff定理.

分析{(x,y)|x²+y²<1}上的实系统其中的所有奇点，并确定其类型，画出奇点附近的大致图，并与之对应的一次近似系统作比较.

给定x0>0以及[0,+∞)上连续函数f(x)，证明：至多具有一个定义于[0,+∞)上的连续函数y(x)满足对任意的x>0，有dy/dx=-y³+f(x)，其中y(0)=y0.

设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是R³上的二阶连续可微函数，满足∂R/∂y-∂Q/∂z=a,∂P/∂z-∂R/∂x=b,∂Q/∂x-∂P/∂y=c其中a,b,c为常数，证明：存在R³上的连续线性函数f,g,h使得(P-f)dx+(Q-g)dy+(R-h)dz是全微分.

设[a,+∞)上非负连续函数f可导，且具有连续导函数，若存在r>1，使xf'(x)/f(x)≤-r，证明：反常积分f(x)dx收敛.

设f在[0,1]上连续，在(0,1)上有二阶连续导数，f(0)=f(1)=1,f'' (x)<8，证明：对任意的x∈[0,1]，有f(x)>0.

确定常数a,b，使得极限(axcosx-bsinx)/x³ 存在，并求极限.

设S是单位球面x²+y²+z²=1被锥z>所截部分曲面，定向取球外侧为正向，则对于F=(xy+cosz)i+(-xy-x² )j+(x+2z²)k，曲面积分∬SFdS=________.

定积分

利用δ函数的性质，计算积分δ(x2+1)sinxdx.

求定积分sinθ/(sinθ+cosθ) dθ.

设函数f(x)在开区间[0,1]上可微，f(0)=0，且在[0,1]内0<f'(x)<1，证明：(1)对于任意x∈(0,1),f(t)dt>1/2 f2 (x);(2) (f(x)dx)2>f3(x)dx.

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负，且广义积分f(x)dx收敛，证明：xf(x)dx=0.

证明含参广义积分F(a)=e-axsinxdx在(0,+∞)连续，但非一致收敛.

若f(x)为已知连续函数，I=tf(tx)dx，其中t>0,s>0，则I的值【】

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

e√x =__________.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=__________.

定积分的概念与性质

设F(x)=esintsintdt，则F(x)【】

设I1=x/2(1+cosx) dx,I2=ln⁡(1+x)/(1+cosx) dx,I3=2x/(1+sinx) dx，则【】

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【】

设连续函数f(x)满足f(a+b-x)=f(x),∀x∈[a,b]，则积分xf(x)dx等于【】

南京大学定积分的概念与性质

设f∈[0,2π]，证明：f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

设f(x)在(0,1)可微，且有x2 f(x) dx=0，证明：存在θ∈(0,1)，使得f' (θ)=-f(θ)/θ.

设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)取正值，由积分中值定理有f(t)g(t)dt=f(ξ)g(t) dt(a≤ξ≤x≤b)若f+' (a)存在且f+' (a)≠0，求(ξ-a)/(x-a).

设f(x)在[0,1]上连续，f(x)dx=0,xf(x)dx=1，则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=______.