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设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=__________.
1/12
e√x =__________.
(1/√x)tanx =__________.
设f(t)=t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.
设f(x)=在(-∞,+∞)内连续，则a=________.
设z=f(ex siny,x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求∂2z/∂x∂y.
求(ex-sinx-1)/(1-).
要使ξ1=,ξ2=都是方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为【 】
设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【 】
在曲线x=t,y=-t2,z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线是【 】
级数(-1)n(1-cos α/n)(常数α>0)【 】
证明：sin(x²)dx>0.
证明：xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中，a>0为常数.
设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续，求证：1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2 maxx∈[a,b] |f'(x)|,x∈[a,b]
dx=__________.
浙江省定积分的换元法
利用δ函数计算下列积分(x2+1)δ(x2-2x-8)dx.
若f(x)为已知连续函数，I=tf(tx)dx，其中t>0,s>0，则I的值【 】
求xarcsinxdx.
求ln(1+x)/(2-x)2 dx.
当某公司推出一个新的社交软件时，公司的市场部门除了会关心该软件的活跃客的总人数随时间的变化，也会对客户群体的一些特征做具体的调研和分析。我们用n(t,x)表示客户的数量密度(以下简称密度)，这里t表示时间，而x表示客户对该社交软件的使用时长，那么在t时刻，对于0<x1<x2，使用时长介于x1和x2之间的客户数量为n(t,x)dx。我们假设，密度n(t,x)随着时间演化受以下几个因素的影响：假设1.当客户持续使用该社交软件时,他的使用时长随时间线性增长。假设2.客户在使用过程中，可能会停止使用，我们假设停止速率d(x)>0只跟使用时长x有关。假设3.新客户的来源有两个。①公司的宣传：单位时间内因此增加的人数是时间的函数，用c(t)表示。②老客户的宣传：老客户会主动向自己的同事、朋友等推荐使用该社交软件，推荐成功的速率跟客户的使用时长x有关，记作b(x)。假设如果在某一时刻，记为t=0时，密度函数是已知的，n(0,x)=n0 (x)。可以推导出，n(t,x)的时间演化满足如下的方程 (1)这里N(t)可解读为新客户的增加速率。我们假设b,d∈(0,∞)，即b(x)和d(x)正且(本质)有界。以下,我们先做一个简化假设：c(t)≡0，即新客户的增加只跟老客户的宣传有关。(i)问答题(10分)根据假设1和假设2，形式地推导出(1)中n(t,x)所满足的偏微分方程，需要在推导过程中指出模型假设和数学表达式之间的对应关系。再根据假设3，解释(1)中N(t)的定义的含义。(ii)问答题(10分)我们想要研究新客户的增加速率N(t)和推荐成功速率b(x)之间的关系。为此,请推导出一个N(t)所满足的方程，且方程中只包含N(t),n0 (x),b(x),d(x)，而不包含n(t,x)。并证明，N(t)满足如下估计|N(t)|≤‖b‖∞|n0 (x)|dx,这里‖∙‖∞表示L∞范数。(iii)证明题(10分)最后，我们想要研究，在充分长的时间之后，数量密度函数n(t,x)有什么渐近的趋势。由于客户总人数可能一直在增加，所以我们不方便直接研究数量密度函数n(t,x)，而更应该去看一个重整化的密度函数。为此，我们首先假设如下的特征值问题有唯一解(λ0,φ(x))：并且它的对偶问题也有唯一的解ψ(x)：然后，我们定义重整化密度n ̃(t,x)≔n(t,x)e-λ0 t。证明，对于任意凸函数H:R+→R+满足H(0)=0，我们有d/dt ψ(x)φ(x)H()dx≤0,∀t≥0,并证明ψ(x)n(t,x))dx=eλ0t ψ(x) n0 (x)dx.
= ______.
|x|dx = ______.
f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。
(2x+3)/(x2-x+1)dx=__________.
计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.
计算积分ln(1-2acosx+a2)dx.
理工数学Ⅱ微积分基本公式
设f(x)在(-∞,+∞)内连续可导，且m≤f(x)≤M,a>0.(1)求1/(4a2)[f(t+a)-f(t-a)]dt;(2)求证：|1/2af(t)dt-f(x)|≤M-m.
积分2/(x2+2x+4) dx=__________.
若g(x)在x=c处二阶导数存在，且g' (c)=0,g'' (c)<0，则g(c)为g(x)的一个极大值.
f(t)dt=x，则f(7)=__________.
