大学数学-考研试题(经济数学Ⅲ 2022年微积分基本公式)

填空题（2022年经济数学Ⅲ）

积分2/(x²+2x+4) dx=__________.

答案解析

π/(3√3)

讨论

大学数学

设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X\Y 0 1 2-1 0.1 0.1 b1 a 0.1 0.1若事件{max⁡(X,Y)=2}与事件{min⁡(X,Y)=1}相互独立，则Cov(X,Y)=【】

设随机变量序列X1,X2,…,Xn,…独立同分布，且X1的概率密度为f(x)=，则当n→∞时，1/n Xi2 依概率收敛于【】

设随机变量X~N(0,4)，随机变量Y~B(3 ,1/3)，且X与Y不相关，则D(X-3Y+1)=【】

已知an=-(-1)n/n(n=1,2,…)，则{an}【】

已知二次型f(x1,x2,x3 )=3x12+4x22+3x32+2x1 x3，(1)求正交变换x=Qy将f(x1,x2,x3)化为标准形；(2)证明minx≠0⁡f(x)/(xT x)=2.

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加第1列，得到矩阵，则A-1的迹tr(A-1)=__________.

已知曲线L的极坐标方程为r=sin3θ(0≤θ≤π/3)，则L围成有界区域的面积为__________.

定积分

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

tsint dt=__________.

理工数学Ⅱ微积分基本公式

(2x+3)/(x2-x+1)dx=__________.

利用δ函数的性质，计算积分δ(x2+1)sinxdx.

求定积分sinθ/(sinθ+cosθ) dθ.

设函数f(x)在开区间[0,1]上可微，f(0)=0，且在[0,1]内0<f'(x)<1，证明：(1)对于任意x∈(0,1),f(t)dt>1/2 f2 (x);(2) (f(x)dx)2>f3(x)dx.

f'(2x)dx=__________.

设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F'(x)等于【】

微积分基本公式

|x|dx = ______.

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=__________.

设f(x)在(-∞,+∞)内连续可导，且m≤f(x)≤M,a>0.(1)求1/(4a2)[f(t+a)-f(t-a)]dt;(2)求证：|1/2af(t)dt-f(x)|≤M-m.

计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

已知函数f(x)=，则dxf(x)f(y-x)dy=__________.

设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为Q=12x1/2 y1/6，该产品的销售单价P与Q的关系为P=1160-1.5Q，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).