已知二次型f(x1,x2,x3 )=3x12+4x22+3x32+2x1 x3，
(1)求正交变换x=Qy将f(x1,x2,x3)化为标准形；
(2)证明minx≠0f(x)/(xT x)=2.
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问答题（2022年理工数学Ⅱ；2022年经济数学Ⅲ）
答案解析
(1)令A=，由|λE-A|==(λ-4)2 (λ-2)=0，得A的特征值为λ1=λ2=4,λ3=2.当λ=2时，(2E-A)=0的基础解系为α1=(1,0,-1)T.当λ=4时，(4E-A)x=0的基础解系为α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,0)T;α1,α2,α3已相互正交，故只需将其单位化，得γ1=1/√2 (1,0,-1)T,γ2=1/√2 (1,0,1)T,γ3=(0,1,0)T.令Q=(γ1,γ2,γ3 )T，经正交变换x=Qy将f化为标准形2y12...
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二次型f(x1,x2,x3 ) = (x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 - (x3 - x1)2的正惯性指数依次为【 】
求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1 x2+4x1 x3-8x2 x3成标准形.
已知二次型f(x1,x2,x3 )=2x12+3x22++3x32+2ax2 x3 (a>0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换矩阵.
已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4，可以经过正交变换=P化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a,b的值和正交矩阵P.
已知二次型f(x1,x2,x3 )=ijxixj.(1)求二次型矩阵.(2)求正交矩阵Q，使得二次型经正交变换x=Qy化为标准形.(3)求f(x1,x2,x3)=0的解.
二次型f(x1,x2,x3 )=(x1+x2 )2+(x1+x3 )2-4(x2-x3 )2的规范型为【 】
求微分方程xy'+(1-x)y=e2x (0<x<+∞)满足y(1)=0的解.