大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2021年可降阶的高阶微分方程)

填空题（2021年理工数学Ⅱ）

微分方程y''' - y = 0的通解y=_____________________.

答案解析

y = C₁e^x+ (C₂cosx + C₃sinx),C_1,C_2,C_3∈R

讨论

大学数学

已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=______.

设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan⁡(2xy)=1确定，则 = ______.

|x|dx = ______.

已知矩阵A=，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别取【】

设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)，若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出，则【】

设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【】

设函数f(x)=ax-blnx(a>0)有两个零点，则b/a的取值范围是【】

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为【】

当x→0时，(-1)dt是x7的【】

在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段记为Y，令Z=Y/X.(1) 求X的概率密度；(2) 求Z的概率密度；(3) 求E(X/Y).

微分方程

设对任意x>0，曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1/x f(t)dt，求f(x)的一般表达式.

已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=yΔx/(1+x2)+α，且当Δx→0时，α是∆x(∆x→0)的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于【】

y''-4y=e2x的通解为____________.

微分方程y'''-2y''+5y'=0的通解y(x)=__________.

欧拉方程x2y″ + xy' - 4y = 0满足条件y(1) = 1,y'(1) = 2得解为y = ______.

设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知||=||，且l过点(3/2,3/2)，求l的方程.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解.

求微分方程y''+4y'+4y=eax的通解，其中a为实数.

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y' (x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程.

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

可降阶的高阶微分方程

考虑方程x''+k2 x=f(t)，其中k为常数，函数f(t)于0≤t<+∞上连续。(1)当k≠0时求上述方程满足初始条件x(0)=1,x' (0)=-1的解。(2)证明当k=0时上述方程的通解可表示为x=c1+c2 t+(t-s)f(s)ds 其中c1,c2为任意常数。

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x)，定义R上的函数(Sf)(x):(Sf)(x)=e2πiux f(u)du.(i)问答题（10分）求S(1/(1+x2))和S(1/(1+x2)2 )的显示表达式。(ii)问答题（15分）对任意整数k，记fk(x)=(1+x2)-1-k.假设k≥1，找到常数c1,c2使得函数y=(Sfk)(x)满足二阶常微分方程xy''+c1y'+c2xy=0.

给定方程x''+8x'+7x=f(t)，其中f(t)在(-∞,+∞)上连续。如果f(t)=0，则上述方程的每一个解当t→+∞时都趋于零。

已知二次型f(x1,x2,x3 )=3x12+4x22+3x32+2x1 x3，(1)求正交变换x=Qy将f(x1,x2,x3)化为标准形；(2)证明minx≠0⁡f(x)/(xT x)=2.

二次型f(x1,x2,x3 )=(x1+x2 )2+(x1+x3 )2-4(x2-x3 )2的规范型为【】

求函数f(xy)=xecosy+x2/2的极值.

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

若函数f(a)=1/(x(lnx)a+1) dx在a=a0处取得最小值，则a0=【】

设函数f(x)=(x2+a) ex，若f(x)没有极值点，但曲线y=f(x)有拐点，则a的取值范围是【】

曲线3x3=y5+2y3在x=1对应点处的法线斜率为__________.