填空题(2022年理工数学Ⅱ

微分方程y'''-2y''+5y'=0的通解y(x)=__________.

答案解析

C1+ex(C2cos2x+C3sin2x)

讨论

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为 N,在 t= 0 时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t 已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人收和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k>0,求x(t).

已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=yΔx/(1+x2)+α,且当Δx→0时,α是∆x(∆x→0)的高阶无穷小,y(0)=π,则y(1)等于【 】

欧拉方程x2y″ + xy' - 4y = 0满足条件y(1) = 1,y'(1) = 2得解为y = ______.

差分方程△yt = t的通解为____________________.

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x),定义R上的函数(Sf)(x):(Sf)(x)=e2πiux f(u)du.(i)问答题(10分) 求S(1/(1+x2))和S(1/(1+x2)2 )的显示表达式。(ii)问答题(15分)对任意整数k,记fk(x)=(1+x2)-1-k.假设k≥1,找到常数c1,c2使得函数y=(Sfk)(x)满足二阶常微分方程xy''+c1y'+c2xy=0.

若f(x):(0,π)→R连续,f(x)>0,f(π/2)=1,且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x)),求f(x)的表达式.

北京大学齐次微分方程

考虑线性方程组dx/dt=A(t)x+f(t) (1)其中A(t),f(t)以ω为周期,A(t)为n×n的矩阵函数,f(t)为n维向量函数。设x1 (t),x2 (t),…,xn (t)是对应齐次方程组dx/dt=A(t)x (2)的基本解组,满足初始条件:x1 (0)=,x2 (0)=,…,xn (0)= 证明:1.设x=φ(t)是(1)的解,则x=φ(t)是(1)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)。2.对于任何连续的周期函数f(t),f(t)=f(t+ω),方程组(1)有惟一的周期解(周期为ω)的充要条件是矩阵X(ω)=[x1 (ω)…xn (ω)]没有等于1的特征根。

给定方程x''+8x'+7x=f(t),其中f(t)在(-∞,+∞)上连续。如果f(t)=0,则上述方程的每一个解当t→+∞时都趋于零。

求解微分方程组的初值问题