问答题(1988年理工数学Ⅰ1988年理工数学Ⅱ

设函数y=y(x)满足微分方程y''-3y'+2y=2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合,求函数y=y(x).

答案解析

方程y''-3y'+2y=2ex对应的齐次方程的特征方程为λ2-3λ+2=0,特征根为λ1=1,λ2=2,故对应的齐次方程的通解为C1 ex+C2 e2x,因为α=1为特征方程的单根,因此原方程的特解可设...

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讨论

考虑线性方程组dx/dt=A(t)x+f(t) (1)其中A(t),f(t)以ω为周期,A(t)为n×n的矩阵函数,f(t)为n维向量函数。设x1 (t),x2 (t),…,xn (t)是对应齐次方程组dx/dt=A(t)x (2)的基本解组,满足初始条件:x1 (0)=,x2 (0)=,…,xn (0)= 证明:1.设x=φ(t)是(1)的解,则x=φ(t)是(1)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)。2.对于任何连续的周期函数f(t),f(t)=f(t+ω),方程组(1)有惟一的周期解(周期为ω)的充要条件是矩阵X(ω)=[x1 (ω)…xn (ω)]没有等于1的特征根。

求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解,其中常数a>0.

欧拉方程x2y″ + xy' - 4y = 0满足条件y(1) = 1,y'(1) = 2得解为y = ______.

设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则【 】

设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y' (x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.

设S为椭球面x2/2+y2/2+z2=1的上半部分,点P(x,y,z)∈S,π为S在P处的切平面,ρ(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面π的距离,求∬Sz/(ρ(x,y,z)) dS.

设A,B为n阶矩阵,E为单位矩阵.若方程组Ax=0与Bx=0同解,则【 】

设随机变量X~U(0,3),随机变量Y服从参数为2的泊松分布,且X与Y的协方差为-1,则D(2X-Y+1)=【 】

已知平面区域D={(x,y)|y-2≤x≤,0≤y≤2},计算I=∬D(x-y)2/(x2+y2)dxdy.

设X1,X2,…,Xn为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本,Y1,Y2,…,Ym为来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本,且两样本相互独立,其中θ(θ>0)是未知参数.利用样本X1,X2,…,Xn,Y1,Y2,…,Ym求θ的最大似然估计量θ ̂,并求D(θ ̂).