大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1996年高阶线性微分方程)

填空题（1996年理工数学Ⅰ）

微分方程y''-2y'+2y=e^x的通解为____________.

答案解析

y=e^x(C₁cosx+C₂sinx)+e^x

讨论

大学数学

设一平面经过原点及点P(6,-3,2)，且与平面4x-y+2z=8垂直，则此平面方程为______________.

设[(x+2a)/(x-a)]x=8，则a=________.

设随机变量X的概率密度为fX=，求随机变量Y=eX的概率密度fY (y).

设A是n阶矩阵，满足AAT=E(E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵)，|A|<0，求|A+E|.

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T，求A.

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且g'' (x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)，试证：(1)在开区间(a,b)内对任意x有g(x)≠0；(2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)/g(ξ) =f'' (ξ)/g'' (x).

设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意t恒有2xydx+Q(x,y)dy=2xydx+Q(x,y)dy，求Q(x,y).

设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知||=||，且l过点(3/2,3/2)，求l的方程.

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x (0<x<+∞)满足y(1)=0的解.

已知f(2)=1/2,f'(2)=0及f(x)dx=1，求x2f''(2x)dx.

高阶线性微分方程

电子科技大学高阶线性微分方程

求微分方程y''+2y'-3y=e-3x的通解.

设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y''+p(x) y'+q(x)y=f(x)的解，C1,C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是【】

求微分方程y''+4y'+4y=e-2x的通解（一般解）.

微分方程y''-y=ex+1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）【】

求微分方程y''+2y'+y=xex的通解（一般解）.

设函数y=y(x)满足微分方程y''-3y'+2y=2ex，其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合，求函数y=y(x).

微分方程y'''-2y''+5y'=0的通解y(x)=__________.

求微分方程y''+4y'+4y=eax的通解，其中a为实数.

y''-4y=e2x的通解为____________.

微分方程

差分方程△yt = t的通解为____________________.

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x)，定义R上的函数(Sf)(x):(Sf)(x)=e2πiux f(u)du.(i)问答题（10分）求S(1/(1+x2))和S(1/(1+x2)2 )的显示表达式。(ii)问答题（15分）对任意整数k，记fk(x)=(1+x2)-1-k.假设k≥1，找到常数c1,c2使得函数y=(Sfk)(x)满足二阶常微分方程xy''+c1y'+c2xy=0.

若f(x):(0,π)→R连续，f(x)>0,f(π/2)=1，且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x))，求f(x)的表达式.

设y=φ(x)满足微分不等式dy/dx+a(x)y≤0 其中函数a(x)在x≥0上连续，证明：φ(x)≤φ(0) ,(x≥0).

北京大学齐次微分方程

证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根，其中μ为整数。

求微分方程y'+1/x y=1/(x(x2+1))的通解（一般解）.

微分方程y''' - y = 0的通解y=_____________________.

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

北京大学齐次微分方程