大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1995年一阶线性微分方程)

问答题（1995年理工数学Ⅰ）

设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知||=||，且l过点(3/2,3/2)，求l的方程.

答案解析

设点M的坐标为(x,y)，则切线MA的方程为Y-y=y'(X-x)，令X=0，得点A的坐标为(0,y-xy').由||=||，有|y-xy' |=，化简得2yy'-1/x y2=-x，令u=y2，有d...

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讨论

大学数学

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x (0<x<+∞)满足y(1)=0的解.

已知f(2)=1/2,f'(2)=0及f(x)dx=1，求x2f''(2x)dx.

已知，求dy/dx,d2y/dx2

求(2sinx+cosx)1/x

求∫dx/(xln2x)

已知y=arcsine-√x，求y'.

设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【】

微分方程y''-y=ex+1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）【】

设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处【】

曲线y=cosx(-π/2≤x≤π/2)与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为【】

微分方程

差分方程△yt = t的通解为____________________.

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x)，定义R上的函数(Sf)(x):(Sf)(x)=e2πiux f(u)du.(i)问答题（10分）求S(1/(1+x2))和S(1/(1+x2)2 )的显示表达式。(ii)问答题（15分）对任意整数k，记fk(x)=(1+x2)-1-k.假设k≥1，找到常数c1,c2使得函数y=(Sfk)(x)满足二阶常微分方程xy''+c1y'+c2xy=0.

若f(x):(0,π)→R连续，f(x)>0,f(π/2)=1，且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x))，求f(x)的表达式.

考虑线性方程组dx/dt=A(t)x+f(t) (1)其中A(t),f(t)以ω为周期，A(t)为n×n的矩阵函数，f(t)为n维向量函数。设x1 (t),x2 (t),…,xn (t)是对应齐次方程组dx/dt=A(t)x (2)的基本解组，满足初始条件：x1 (0)=,x2 (0)=,…,xn (0)= 证明：1.设x=φ(t)是(1)的解，则x=φ(t)是(1)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)。2.对于任何连续的周期函数f(t),f(t)=f(t+ω)，方程组(1)有惟一的周期解（周期为ω）的充要条件是矩阵X(ω)=[x1 (ω)…xn (ω)]没有等于1的特征根。

给定方程x''+8x'+7x=f(t)，其中f(t)在(-∞,+∞)上连续。如果f(t)=0，则上述方程的每一个解当t→+∞时都趋于零。

求解微分方程组的初值问题

考虑方程x''+k2 x=f(t)，其中k为常数，函数f(t)于0≤t<+∞上连续。(1)当k≠0时求上述方程满足初始条件x(0)=1,x' (0)=-1的解。(2)证明当k=0时上述方程的通解可表示为x=c1+c2 t+(t-s)f(s)ds 其中c1,c2为任意常数。

证明微分方程初值问题：的解在α<t<β上存在且惟一，其中a(t),b(t)均在区间α<t<β上连续，α<x_0<β,x_0为任意实数。

设y=φ(x)满足微分不等式dy/dx+a(x)y≤0 其中函数a(x)在x≥0上连续，证明：φ(x)≤φ(0) ,(x≥0).

北京大学齐次微分方程

一阶线性微分方程

证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根，其中μ为整数。

求微分方程y'+1/x y=1/(x(x2+1))的通解（一般解）.

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=________________.

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.

求微分方程x dy/dx=x-y满足条件 y|x=√2 =0的解.

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解.

设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|=0，则A中【】

设f(x)=sinx-(x-t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).