证明题(2005年北京大学

证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根,其中μ为整数。

答案解析

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讨论

令n为正整数。对任一正整数k,记0k=为k×k的零矩阵。令Y=为一个(2n+1)×(2n+1)矩阵,其中A=(xi,j)1≤i≤n,1≤j≤n+1是一个n×(n+1)实矩阵且At记A的转置矩阵,即(n+1)×n的矩阵,(j,i)处元素为xi,j.(i)证明题(10分)称复数λ为k×k矩阵X的一个特征值,如果存在非零列向量v=(x1,…,xk)t使得Xv=λv.证明:0是Y的特征值且Y的其他特征值形如±,其中非负实数λ是AAt的特征值。(ii)证明题(15分)令n=3且a1,a2,a3,a4是4个互不相等的正实数。记a=以及xi,j=ai δi,j+aj δ4,j-1/a2 (ai2+a42)aj(1≤i≤3,1≤j≤4),其中δi,j= .证明:Y有7个互不相等的特征值。

A=,则A的特征值为【 】

A为4阶方阵,其特征值为-1,1,2,3,A*为A的伴随矩阵,则|A*|=__________。

设矩阵A满足:对任意x1,x2,x3均有A=(1)求A.(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A,使得P-1AP=Λ.

设A为数域P上的一个n级矩阵,如果f(A)=0,则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式,证明矩阵A的最小多项式是惟一的。

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1,对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T,求A.

已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值;(2)问A能否相似于对角阵?说明理由.

设A为n阶矩阵,|A|≠0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ,则(A*)2+E必有特征值____________.

设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是__________.

设A为3阶矩阵,A=,则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是【 】

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解,求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

微分方程y''' - y = 0的通解y=_____________________.

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6,满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点,曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy,为使Iy最小,求P的坐标.

差分方程△yt = t的通解为____________________.

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x),定义R上的函数(Sf)(x):(Sf)(x)=e2πiux f(u)du.(i)问答题(10分) 求S(1/(1+x2))和S(1/(1+x2)2 )的显示表达式。(ii)问答题(15分)对任意整数k,记fk(x)=(1+x2)-1-k.假设k≥1,找到常数c1,c2使得函数y=(Sfk)(x)满足二阶常微分方程xy''+c1y'+c2xy=0.

若f(x):(0,π)→R连续,f(x)>0,f(π/2)=1,且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x)),求f(x)的表达式.

电子科技大学高阶线性微分方程

微分方程y'''-2y''+5y'=0的通解y(x)=__________.

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为 N,在 t= 0 时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t 已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人收和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k>0,求x(t).

从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式 y= y(v).