大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1990年一阶线性微分方程)

计算题（1990年理工数学Ⅱ）

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|_x=e=1的特解.

答案解析

化为一阶线性微分方程的标准形式 y'+1/xlnx y=1/x,由一阶线性微分方程的通解公式得y=e-∫1/xlnx dx (∫1/x e∫1/xlnx dx+C)=e-ln⁡(lnx) (∫1/x ...

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讨论

大学数学

计算∫lnx/(1-x)2 dx.

求曲线y=1/(1+x2 )(x>0)的拐点.

求由方程2y-x=(x-y)ln⁡(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.

已知((x+a)/(x-a))x =9，求常数a.

设F(x)=，其中f(x)在x=0处可导，f' (0)≠0,f(0)=0，则x=0是F(x)的【】

设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，则d∫f(x) dx等于【】

已知⁡(x2/(x+1)-ax-b)=0，其中a,b是常数，则【】

下列两个积分的大小关系是：dx_______dx.

xdx=__________.

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

微分方程

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x (0<x<+∞)满足y(1)=0的解.

微分方程y''' - y = 0的通解y=_____________________.

北京大学齐次微分方程

考虑线性方程组dx/dt=A(t)x+f(t) (1)其中A(t),f(t)以ω为周期，A(t)为n×n的矩阵函数，f(t)为n维向量函数。设x1 (t),x2 (t),…,xn (t)是对应齐次方程组dx/dt=A(t)x (2)的基本解组，满足初始条件：x1 (0)=,x2 (0)=,…,xn (0)= 证明：1.设x=φ(t)是(1)的解，则x=φ(t)是(1)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)。2.对于任何连续的周期函数f(t),f(t)=f(t+ω)，方程组(1)有惟一的周期解（周期为ω）的充要条件是矩阵X(ω)=[x1 (ω)…xn (ω)]没有等于1的特征根。

给定方程x''+8x'+7x=f(t)，其中f(t)在(-∞,+∞)上连续。如果f(t)=0，则上述方程的每一个解当t→+∞时都趋于零。

求解微分方程组的初值问题

考虑方程x''+k2 x=f(t)，其中k为常数，函数f(t)于0≤t<+∞上连续。(1)当k≠0时求上述方程满足初始条件x(0)=1,x' (0)=-1的解。(2)证明当k=0时上述方程的通解可表示为x=c1+c2 t+(t-s)f(s)ds 其中c1,c2为任意常数。

证明微分方程初值问题：的解在α<t<β上存在且惟一，其中a(t),b(t)均在区间α<t<β上连续，α<x_0<β,x_0为任意实数。

设y=φ(x)满足微分不等式dy/dx+a(x)y≤0 其中函数a(x)在x≥0上连续，证明：φ(x)≤φ(0) ,(x≥0).

北京大学齐次微分方程

一阶线性微分方程

证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根，其中μ为整数。

求微分方程x dy/dx=x-y满足条件 y|x=√2 =0的解.

求微分方程y'+1/x y=1/(x(x2+1))的通解（一般解）.

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=________________.

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.

设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知||=||，且l过点(3/2,3/2)，求l的方程.

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

设f(t)=⁡t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.

若y=f(x)，有f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】