大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1990年分部积分法)

计算题（1990年理工数学Ⅱ）

计算∫lnx/(1-x)² dx.

答案解析

原式=∫lnx d(1/(1-x))=lnx/(1-x)-∫1/(x(1-x)) dx

=lnx/(1-x)-∫(1/x+1/(1-x)) dx=lnx/(1-x)+ln|(1-x)/x|+C.

讨论

大学数学

求曲线y=1/(1+x2 )(x>0)的拐点.

求由方程2y-x=(x-y)ln⁡(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.

已知((x+a)/(x-a))x =9，求常数a.

设F(x)=，其中f(x)在x=0处可导，f' (0)≠0,f(0)=0，则x=0是F(x)的【】

设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，则d∫f(x) dx等于【】

已知⁡(x2/(x+1)-ax-b)=0，其中a,b是常数，则【】

下列两个积分的大小关系是：dx_______dx.

xdx=__________.

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

曲线对应于t=π/6点处的法线方程是____________.

不定积分

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

设f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

连续函数的不定积分一定存在.

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).

已知定义于R的函数f(x)满足f′(lnx)=又f(0)=1，则f(x)=__________。

浙江省换元积分法

dx=__________。

分部积分法

已知y=1+xexy，求 y'|x=0及y''|x=0.

设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.

设tany=x+y，则dy=__________.

已知y=arcsine-√x，求y'.

求∫dx/(xln2x)

已知，求dy/dx,d2y/dx2

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为【】

设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)，若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出，则【】

已知矩阵A=，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别取【】

多项式f(x)=中x3项的系数为______.