大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2021年函数的微分)

单项选择（2021年理工数学Ⅱ）

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为【】

A、125πcm³/s，40πcm²/s

B、125πcm³/s，-40πcm²/s

C、-100πcm³/s，40πcm²/s

D、-100πcm³/s，-40πcm²/s

答案解析

C

讨论

大学数学

当x→0时，(-1)dt是x7的【】

在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段记为Y，令Z=Y/X.(1) 求X的概率密度；(2) 求Z的概率密度；(3) 求E(X/Y).

已知A=(1) 求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；(2) 求正定矩阵C，使得C2 = (a+3)E-A.

设D⊂R2是有界单连通闭区域，I(D)=(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D1.(1) 求I(D1 )的值.(2) 计算，其中∂D1是D1的正向边界.

已知曲线C:，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.

设un(x) = e-nx + xn+1 (n=1,2,…)，求级数un(x)的收敛域和函数.

理工数学Ⅰ函数极限存在准则

甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数______.

设A = aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A| = 3，A11 + A21 + A31 = ______.

设Σ为空间区域{(x,y,z)|x2 + 4y2≤4,0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分∬Σx2dydz + y2dzdx + z2dxdy=______.

函数的微分

若y=f(x)，有f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

设tany=x+y，则dy=__________.

已知，求dy/dx,d2y/dx2

求由方程2y-x=(x-y)ln⁡(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.

如果y=(x+t)dt，则 dy/dx|x=0等于【】

设函数f:R→R在R/{x0}上有二阶导数，满足：当x∈(-∞,x0)时f' (x)<0<f''(x)，而当x∈(x0,+∞)时，f' (x)>0>f''(x)，证明：f在x0处不可微.

若函数y=f(x)可导，且f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

已知z=arctan (x+y)/(x-y)，求dz.

设f(x)为可导函数且满足(f(1)-f(1+x))/2x=1，则y=f(x)在(1,f(1))处的斜率为【】

若y=cos , = __________.

导数与微分

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【】

设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处【】

设函数f:R→R可微且导数有界，则f【】

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.