大学数学-竞赛试题(全国大学生竞赛 2009年高阶导数)

填空题（2009年全国大学生竞赛）

设y=y(x)由方程xe^f(y)=e^yln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.

答案解析

显见x>0，原式两边取对数得lnx+f(y)=y+lnln29两边对x求导数得 +f′(y)y′=y′ (*)由(*)式可得 y′= . (*)式两边对x再求导数得 - + f″(y)(y′...

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讨论

大学数学

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.

设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=__________.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

考研无穷小与无穷大

高阶导数

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【】

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f' (x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n) (x)等于【】

已知函数f(x)=esinx+e-sinx，则f'''(2π)=__________.

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

求曲线L:y=1/3 x3+2x(0≤x≤1)绕直线y=4/3 x旋转一周生成的旋转曲面的面积.

导数与微分

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).

设函数y=f(x)由确定，则【】

已知函数y=y(x)由方程x2+xy+y3=3确定，则y''(1)=__________.

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设函数f:R→R可微且导数有界，则f【】

已知，求d2y/dx2.

已知，求 dy/dx|t=0,d2y/dx2|t=0.

设函数z=z(x,y)由ez+xz=2x-y确定，则∂2z/∂x2|(1,1)=________.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(x)=0是F(x)在x=0处可导的【】

设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【】