已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.
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证明题（2022年天津大学）
答案解析
将f(x)在0处Taylor展开，有：0≤|f(x)|=|f(0)+f' (0)x+⋯+(f(n)(ξ))/n! xn |=|(f(n)(ξ))/n! xn |≤Cn |x|n (1)若C=0，则f(x)≡0,x∈(-1,1);(2)若0<C≤1，有Cn |x|n =0,x∈(-1,1)，故f(x)≡0,x∈(-1,1);(3)若C>1，①当|x|<1/C时，Cn |x|n =0，故f(x)≡0,x∈(-1/C,1/C);②当x=1/C时，将f(x)在1/2c处Taylor展开：|f(x)|=|f(1/2c)+f' (1/2c)(x-1/2c)+⋯+(f(n)(η))/n! (x-1/2c)n |=0,η∈(1/2c,x) ③当x=-1/C时...
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设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a,|f''(x)|≤b，其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点，证明：|f'(c)|≤2a+b/2.
设x>0时，f(x)=，求证：x→0+时，f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求A,B之值.
设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则【 】
设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【 】
当x→0时，x-sinxcosxcos2x与cx4为等价无穷小，则c=__________，k=__________.
当x→0时，1-cosxcos2xcos3x对于无穷小x的阶数等于 __________.
设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【 】
已知f(x)在[a,b]上二阶可导，且f''(x)≤0，证明：f(x)dx≤(b-a)f((a+b)/2).
设f(x)在[a,b]上单调，证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.
设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.
设y=ln(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.
设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【 】
设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.
设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【 】
设y=etan(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.