1976年莫斯科钢铁与合金学院 · 泰勒公式 · 竞赛题

设x>0时,f(x)=(1+x)^1/x,求证:x→0+时,f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2),并求A,B之值.

答案

应用ln(1+x)与ex的马克劳林展式,有

f(x)=(1+x)^1/x=exp(1/xln(1+x))

=exp(1/x(x-1/2x2+1/3x3+o(x3)))

=exp(1-1/2x+1/3x2+o(x2)))

=e•exp(-1/2x+1/3x2+o(x2))

= e•[1+(-1/2x+1/3x2)+( -1/2x+1/3x2)2+ o(x2)]

=e-1/2ex+11/24ex2+o(x2)

A=-1/2e,B=11/24e.

笔记