大学数学-考研试题(复旦大学 2023年函数的极值与最值)

填空题（2023年复旦大学）

在Oxy平面上给定点O(0,0),A(1,0)，动点P(x,y)在直线y=x+1上,则当P(x,y)=________时，∠OPA取到最大.

答案解析

暂无答案

讨论

大学数学

设矩阵A满足：对任意x1,x2,x3均有A=(1)求A.(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A，使得P-1AP=Λ.

设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2+y2-xy=1,x2+y2-xy=2与直线y=√3 x,y=0围成，计算∬D1/(3x2+y2 ) dxdy.

已知平面区域D={(x,y)|0≤y≤1/(x),x≥1}.(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

求函数f(xy)=xecosy+x2/2的极值.

设曲线L:y=y(x)(x>e)经过点(e2,0)，L上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x)；(Ⅱ)在L上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积最小，并求此最小面积.

已知线性方程组有解，其中a,b为常数.若=4，则=__________.

曲线3x3=y5+2y3在x=1对应点处的法线斜率为__________.

设函数z=z(x,y)由ez+xz=2x-y确定，则∂2z/∂x2|(1,1)=________.

曲线y=dt的弧长为__________.

二次型f(x1,x2,x3 )=(x1+x2 )2+(x1+x3 )2-4(x2-x3 )2的规范型为【】

中值定理与导数的应用

设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【】

已知f(x)=，求f(x)的凹凸性及渐近线.

去年，张师傅因为多旋圈面爆红，今年他来到了达摩院给扫地僧做面。某天，软件工程师小李跟张师傅吐槽工作。小李主要硏究和设计算法用于调节各种产品的参数。这样的参数一般可以通过极小化Rn上的某个损失函数f求得。在小李最近的一个项目中，这个损失函数是另外一个课题组提供的；出于安全考虑和技术原因，该课题组难以向小李给出此函数的内部细节，而只能提供一个接口用于计算任意x∈Rn处的函数值f(x)。所以，小李必须仅基于函数值来极小化f。而且，每次计算f的值都消耗不小的计算资源。好在该问题的维度n不是很高(10左右)。另外，提供函数的同事还告知小李不妨先假设f是光滑的。这个问题让张师傅想起了自己收藏的一台古董收音机。要在这台收音机上收听一个节目，你需要小心地来回拧一个调频旋钮，同时注意收音效果，直到达到最佳。在这过程中，没有人确切地知道旋钮的角度和收音效果之间的定量关系是什么。张师傅和小李意识到，极小化f不过就是调节一台有多个旋钮的机器：想象x的每一个分量由一个旋钮控制，而f(x)表示这台机器的某种性能，只要我们来回调整每个旋钮，同时监视f的值，应该就有希望找到最佳的x。受此启发，两人一起提出了极小化f的一个迭代算法，并命名为“自动前后调整算法”( Automated Forward/Backward Tuning，AFBT，算法1)。在第k次迭代中，AFBT通过前后调整xk的单个分量得2n个点{xk±tk ei:i=1,…,n}，其中tk为步长；然后，令yk为这些点中函数值最小的一个，并检査yk是否使f充分减小；若是，取xk+1=yk，并将步长增倍；否则，令xk+1=xk并将步长减半。在算法1中，ei表示Rn中的第i个坐标向量，它的第i个分量为1，其余皆为0； I(∙) 为指示函数——若f(xk )-f(yk)至少为tk之平方，则I[f(xk )-f(yk )≥tk2]取值为1，否则为0。1自动前后调整算法(AFBT)输入x0∈Rn,t0>0。对k=0,1,2,…，执行以下循环。1：yk≔argmin{f(y):y=xk±tk ei,i=1,…,n} #计算损失函数。2：sk≔I[f(xk )-f(yk )≥tk2] #是否充分下降？是：sk=1；否：sk=0。3：xk+1≔(1-sk ) xk+sk yk #更新迭代点。4：tk+1≔2(2sk-1 ) tk #更新步长。sk=1：步长增倍；sk=0：步长减半。现在，我们对损失函数f:Rn→R作出如下假设。假设1. f为凸函数，即对任何x,y∈Rn与α∈[0,1]都有f((1-α)x+αy)≤(1-α)f(x)+αf(y).假设2. f在Rn上可微且∇f在Rn上 L-Lipschitz连续。假设3. f的水平集有界，即对任意λ∈R，集合{x∈Rn:f(x)≤λ}皆有界。基于假设1与假设2，可以证明〈∇f(x),y-x〉≤f(y)-f(x)≤〈∇f(x),y-x〉+L/2 ‖x-y‖2对任何x,y∈Rn成立；假设1与假设3则保证f在Rn上取到有限的最小值f*。凸函数的更多性质可参考任何一本凸分析教科书。证明题(20分) 在假设1-3下，对于AFBT，证明f(xk)=f*.

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

某厂家生产一种产品同时在两个市场上销售，价格分别为P1和P2，销量分别为q1和q2，需求满足下列关系：q1=24-0.2P1；q2=10-0.05P2.成本函数为：C=35+40(q1+q2)试问厂家如何确定两个市场的价格才能使获利最大？最大为多少？

某企业生产某种商品，年产x件时总成本为c(x)=c+dx，年需求量是价格p的线性函数为a-bp（其中a,b,c,d均为常数），试求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性。

设f(x)=nx(1-x)n（n为自然数），求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

两实变量x与y之间存在“变化关系”，且“变化关系”满足方程：e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式)：y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令：e10/3-1=2a，可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=? [其中，f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中，f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后，考察函数f(x)的渐近性质： f(x)|x→±∞→?(iii)最后，利用(i)和(ii)的结果，便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

已知三个关于自变量x的函数：y=f(x),z=g(x),t=h(x)，其“函数关系”由如下“隐函数方程组”确定出： (1)确定出y,z,t关于x的单值、连续的函数关系式（解析式）：y=f(x)=?,z=g(x)=?,t=h(x)=?及其各函数的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令e10/3 - 1=2a，可便于计算分析处理。(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f' (x)=?及其可导区域{x}=?(3)给出函数y=f(x)的图像草图.提示：①首先，寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=?[其中，f(xk )=0;(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”：xl'=?[其中，f' (xl' )=0;(l=1,2)].②然后，考察函数f(x)的渐近性质.③最后，利用①②的结果，便可绘制出函数f(x)的图像草图[注意：“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用（分组分解法）因式分解后再作求解].

已知二元函数z=z(x,y)：z(x,y)=1/4[4(tgx+tgy)2 - 12tgx∙tgy - 3]，试求：二元函数z=z(x,y)在正方形区域：D ̅:-π/4≤x≤π/4,-π/4≤y≤π/4 里的最大值zmax=?和最小值zmin=?，并指出二元函数z=z(x,y)在闭区域D ̅里何点处取得最大值zmax和最小值zmin?

函数的极值与最值

当x=______时，函数y=x∙2x取得极小值.

设(f(x)-f(a))/(x-a)2=-1，则在x=a处【】

设y=f(x)是方程y''-2y'+4y=0的一个解，且f(x0)>0,f' (x0)=0，则函数f(x)在点x0处【】

已知f(x)在x=0的某个领域内连续，且f(0)=0,f(x)/(1-cosx)=2，则在点x=0处f(x)【】

若g(x)在x=c处二阶导数存在，且g' (c)=0,g'' (c)<0，则g(c)为g(x)的一个极大值.

将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆，问这两段铁丝长各为多少时，正方形与圆的面积之和为最小？

设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处【】

在椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的第一象限上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围成图形面积为最小（其中a>0,b>0）.

试求椭圆x2/4+y2=1上一点，使其到直线3x+4y-12=0,3x-4y+12=0和y+3=0的距离平方和最小.

设a,b,c,d皆为常数，cd≠0，说明并给出理由，当a,b,c,d满足什么条件时，f(x)=(ax+b)/(cx+d)无极值.