问答题(2004年重庆大学

已知三个关于自变量x的函数:y=f(x),z=g(x),t=h(x),其“函数关系”由如下“隐函数方程组”确定出:

 

(1)确定出y,z,t关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?,z=g(x)=?,t=h(x)=?及其各函数的定义域{x}=?

提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令e10/3 - 1=2a,可便于计算分析处理。

(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f' (x)=?及其可导区域{x}=?

(3)给出函数y=f(x)的图像草图.

提示:①首先,寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=?[其中,f(xk )=0;(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”:xl'=?[其中,f' (xl' )=0;(l=1,2)].

②然后,考察函数f(x)的渐近性质.

③最后,利用①②的结果,便可绘制出函数f(x)的图像草图

[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解].

答案解析

暂无答案

讨论

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点,li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式(也称为插值基本函数)。证明:(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

两实变量x与y之间存在“变化关系”,且“变化关系”满足方程:e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令:e10/3-1=2a,可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=? [其中,f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中,f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后,考察函数f(x)的渐近性质: f(x)|x→±∞→?(iii)最后,利用(i)和(ii)的结果,便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

曲线y=xln(e+1/(x-1))的渐近线方程为【 】

对数螺线ρ=eθ在点(ρ,θ)=(eπ/2,π/2)处的切线的直角坐标方程为__________.

曲线3x3=y5+2y3在x=1对应点处的法线斜率为__________.

设y=y(x)满足y'+1/(2√x) y=2+√x,y(1)=3,求y(x)的渐近线.

曲线对应于t=π/6点处的法线方程是____________.

f(x)=1/3 x3+1/2 x2+6x+1的图形在点(0,1)处的切线与x轴的交点坐标是【 】

作函数y=6/(x2-2x+4),并填写表.单调增加区间:单调减少区间:极值点:极值:凹区间:凸区间:拐点:渐近线:

理工数学Ⅰ函数图形的描绘

设x>0时,f(x)=,求证:x→0+时,f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2),并求A,B之值.

=__________.

设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2,则【 】

设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3,则【 】

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,则f(x)dx=【 】

去年,张师傅因为多旋圈面爆红,今年他来到了达摩院给扫地僧做面。某天,软件工程师小李跟张师傅吐槽工作。小李主要硏究和设计算法用于调节各种产品的参数。这样的参数一般可以通过极小化Rn上的某个损失函数f求得。在小李最近的一个项目中,这个损失函数是另外一个课题组提供的;出于安全考虑和技术原因,该课题组难以向小李给出此函数的内部细节,而只能提供一个接口用于计算任意x∈Rn处的函数值f(x)。所以,小李必须仅基于函数值来极小化f。而且,每次计算f的值都消耗不小的计算资源。好在该问题的维度n不是很高(10左右)。另外,提供函数的同事还告知小李不妨先假设f是光滑的。这个问题让张师傅想起了自己收藏的一台古董收音机。要在这台收音机上收听一个节目,你需要小心地来回拧一个调频旋钮,同时注意收音效果,直到达到最佳。在这过程中,没有人确切地知道旋钮的角度和收音效果之间的定量关系是什么。张师傅和小李意识到,极小化f不过就是调节一台有多个旋钮的机器:想象x的每一个分量由一个旋钮控制,而f(x)表示这台机器的某种性能,只要我们来回调整每个旋钮,同时监视f的值,应该就有希望找到最佳的x。受此启发,两人一起提出了极小化f的一个迭代算法,并命名为“自动前后调整算法”( Automated Forward/Backward Tuning,AFBT,算法1)。在第k次迭代中,AFBT通过前后调整xk的单个分量得2n个点{xk±tk ei:i=1,…,n},其中tk为步长;然后,令yk为这些点中函数值最小的一个,并检査yk是否使f充分减小;若是,取xk+1=yk,并将步长增倍;否则,令xk+1=xk并将步长减半。在算法1中,ei表示Rn中的第i个坐标向量,它的第i个分量为1,其余皆为0; I(∙) 为指示函数——若f(xk )-f(yk)至少为tk之平方,则I[f(xk )-f(yk )≥tk2]取值为1,否则为0。1自动前后调整算法(AFBT)输入x0∈Rn,t0>0。对k=0,1,2,…,执行以下循环。1:yk≔argmin{f(y):y=xk±tk ei,i=1,…,n} #计算损失函数。2:sk≔I[f(xk )-f(yk )≥tk2] #是否充分下降?是:sk=1;否:sk=0。3:xk+1≔(1-sk ) xk+sk yk #更新迭代点。4:tk+1≔2(2sk-1 ) tk #更新步长。sk=1:步长增倍;sk=0:步长减半。现在,我们对损失函数f:Rn→R作出如下假设。假设1. f为凸函数,即对任何x,y∈Rn与α∈[0,1]都有f((1-α)x+αy)≤(1-α)f(x)+αf(y).假设2. f在Rn上可微且∇f在Rn上 L-Lipschitz连续。假设3. f的水平集有界,即对任意λ∈R,集合{x∈Rn:f(x)≤λ}皆有界。基于假设1与假设2,可以证明〈∇f(x),y-x〉≤f(y)-f(x)≤〈∇f(x),y-x〉+L/2 ‖x-y‖2对任何x,y∈Rn成立;假设1与假设3则保证f在Rn上取到有限的最小值f*。凸函数的更多性质可参考任何一本凸分析教科书。证明题(20分) 在假设1-3下,对于AFBT,证明f(xk)=f*.

某厂家生产一种产品同时在两个市场上销售,价格分别为P1和P2,销量分别为q1和q2,需求满足下列关系:q1=24-0.2P1;q2=10-0.05P2.成本函数为:C=35+40(q1+q2)试问厂家如何确定两个市场的价格才能使获利最大?最大为多少?

某企业生产某种商品,年产x件时总成本为c(x)=c+dx,年需求量是价格p的线性函数为a-bp(其中a,b,c,d均为常数),试求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性。

设f(x)=nx(1-x)n(n为自然数),求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|≤a,|f''(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点,证明:|f'(c)|≤2a+b/2.