大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1988年函数图形的描绘)

问答题（1988年理工数学Ⅱ）

作函数y=6/(x²-2x+4)，并填写表.

单调增加区间：

单调减少区间：

极值点：

极值：

凹区间：

凸区间：

拐点：

渐近线：

答案解析

单调增加区间：(-∞,1)

单调减少区间：(1,+∞)

极值点：1

极值：2

凹区间：(-∞,0)及(2,+∞)

凸区间：(0,2)

拐点：(0,3/2)及(2,3/2)

渐近线：y=0

函数图像：

讨论

大学数学

求微分方程y'+1/x y=1/(x(x2+1))的通解（一般解）.

已知y=1+xexy，求 y'|x=0及y''|x=0.

由曲线y=sin3/2⁡x (0≤x≤π)与x轴围成的平面绕x轴旋转而的旋转体的体积为【】

若y=f(x)，有f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

设f(x)与g(x)在(-∞,+∞)上皆可导，且f(x)<g(x)，则必有【】

f(x)=1/3 x3+1/2 x2+6x+1的图形在点(0,1)处的切线与x轴的交点坐标是【】

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=__________.

e√x =__________.

(1/√x)tanx =__________.

设f(t)=⁡t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.

函数图形的描绘

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

两实变量x与y之间存在“变化关系”，且“变化关系”满足方程：e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式)：y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令：e10/3-1=2a，可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=? [其中，f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中，f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后，考察函数f(x)的渐近性质： f(x)|x→±∞→?(iii)最后，利用(i)和(ii)的结果，便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

已知三个关于自变量x的函数：y=f(x),z=g(x),t=h(x)，其“函数关系”由如下“隐函数方程组”确定出： (1)确定出y,z,t关于x的单值、连续的函数关系式（解析式）：y=f(x)=?,z=g(x)=?,t=h(x)=?及其各函数的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令e10/3 - 1=2a，可便于计算分析处理。(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f' (x)=?及其可导区域{x}=?(3)给出函数y=f(x)的图像草图.提示：①首先，寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=?[其中，f(xk )=0;(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”：xl'=?[其中，f' (xl' )=0;(l=1,2)].②然后，考察函数f(x)的渐近性质.③最后，利用①②的结果，便可绘制出函数f(x)的图像草图[注意：“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用（分组分解法）因式分解后再作求解].

当x>0时，曲线y=xsin 1/x【】

理工数学Ⅰ函数图形的描绘

曲线y=xln(e+1/(x-1))的渐近线方程为【】

对数螺线ρ=eθ在点(ρ,θ)=(eπ/2,π/2)处的切线的直角坐标方程为__________.

曲线3x3=y5+2y3在x=1对应点处的法线斜率为__________.

设y=y(x)满足y'+1/(2√x) y=2+√x,y(1)=3，求y(x)的渐近线.

曲线对应于t=π/6点处的法线方程是____________.

中值定理与导数的应用

已知 =c（c≠0），求k和c.

设x>0时，f(x)=，求证：x→0+时，f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求A,B之值.

设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【】

设函数f(x)在开区间(a,b)内存在二阶导数f''(x)，且在(a,b)内f''(x)>0，证明：对于任意两点x1,x2∈(a,b)，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2.

求正的常数a与b，使等式1/(bx-sinx)t2/dt=1成立.

曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是__________；法线方程是____________.

已知f(x)在[a,b]上二阶可导，且f''(x)≤0，证明：f(x)dx≤(b-a)f((a+b)/2).

设函数f(x)在(0,+∞)上连续可导，f(x)存在，f(x)的图形在(0,+∞)是上凸的，求证：f′(x)=0.

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【】