大学数学-考研试题(东北大学 2022年泰勒公式)

证明题（2022年东北大学）

已知f(x)在[a,b]上二阶可导，且f''(x)≤0，证明：f(x)dx≤(b-a)f((a+b)/2).

答案解析

由Taylor公式有：f(x)=f(t)+f' (t)(x-t)+(f'' (ξ))/2! (x-t)2≤f(t)+f'(t)(x-t)令t=(a+b)/2，得：f(x)≤f((a+b)/2)+f' ...

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讨论

大学数学

证明：(-1)n(n+x2)/n2在[a,b]上一致收敛.

已知φ(x)=|x-t|f(t)dt，若积分存在，且f(x)>0，证明：φ(x)为[a,b]上的凸函数.

讨论f(x)=sinx2在(-∞,+∞)上的一致连续性.

求定积分x(sinx)arctan⁡(e-x)/(1+cos2⁡x )dx

设数列{xn}满足1/xn+1 +lnxn<1，证明：xn存在，并求之.(已知：1/x+lnx≥1)

设f(x)=1/x+lnx，求f(x)的最小值.

判断dx/(ex+1)的敛散性.

求极限(x-xx)/(1-x+lnx)

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数，且不恒为常数，并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数，使得对任意的λ>0，函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α；(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛，则对任意的λ>0，以下等式成立：|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域，且 u|∂D=0，证明：∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).

泰勒公式

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a,|f''(x)|≤b，其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点，证明：|f'(c)|≤2a+b/2.

设x>0时，f(x)=，求证：x→0+时，f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求A,B之值.

设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则【】

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【】

当x→0时，x-sinxcosxcos2x与cx4为等价无穷小，则c=__________，k=__________.

当x→0时，1-cosxcos2xcos3x对于无穷小x的阶数等于 __________.

设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【】

设S是x2+y2+z2=1的外侧，计算∬Sx(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy

已知f(x)在[a,b]上二阶可导，且f''(x)≤0，证明：f(x)dx≤(b-a)f((a+b)/2).

已知f(x)在[a,b]上二阶可导，且f''(x)≤0，证明：f(x)dx≤(b-a)f((a+b)/2).

中值定理与导数的应用

设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f'(x)≥k>0,f(0)<0，证明：f(x)在(0,+∞)有且仅有一个零点.

设b>a>e，证明ab>ba.

设函数f(x)在[0,1]上f'' (x)>0，则f' (0),f' (1),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是【】

曲线y=(t-1)(t-2)dt在点(0,0)处的切线方程是____________.

若3a2-5b<0，则方程x5+2ax3+3bx+4c=0【】

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且g'' (x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)，试证：(1)在开区间(a,b)内对任意x有g(x)≠0；(2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)/g(ξ) =f'' (ξ)/g'' (x).

设f(x)有二阶连续导数，且f' (0)=0,f''(x)/|x|=1，则【】

确定函数y=(x+1)/x2 的单调区间、极值、凸凹区间、拐点以及渐近线.

求曲线y=1/(1+x2 )(x>0)的拐点.

证明：当x>0时，有不等式arctanx+1/x>π/2.