大学数学-考研试题(东北大学 2022年反常积分的审敛法)

问答题（2022年东北大学）

判断dx/(e^x+1)的敛散性.

答案解析

∵1/(e^x+1)=1/2,∴0不是瑕点.

又x²∙1/(e^x+1)=2x/e^x =2/e^x =0，且p=2>1

∴由柯西判别法知，dx/(e^x+1)收敛.

讨论

大学数学

求极限(x-xx)/(1-x+lnx)

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数，且不恒为常数，并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数，使得对任意的λ>0，函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α；(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛，则对任意的λ>0，以下等式成立：|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域，且 u|∂D=0，证明：∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).

求曲面积分∬S(z3-x)dydz-xydzdx-3zdxdy.其中S是由曲面z=4-y2，平面x=0，平面x=3以及xOy平面围成立体的表面，取外侧.

求积分I(a)=arctan⁡(ax)/(x(1+x2)) dx,a>0.

设级数sinnx/(1+nx2)(1)当x取何值时，级数绝对收敛？并说明理由；(2)当x取何值时，级数条件收敛？并说明理由.

设f(x)=(1)求f(x)的傅里叶级数与傅里叶级数的和函数；(2)证明：1/n2 =π2/6.

设f(x)在(0,1)上可导，在[0,1]上连续，且f(1)-f(0)=2e-1-1.证明：存在ξ∈(0,1)，使得eξ^2 f' (ξ)+2ξ3=0.

设a,b,c,d皆为常数，cd≠0，说明并给出理由，当a,b,c,d满足什么条件时，f(x)=(ax+b)/(cx+d)无极值.

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

反常积分的审敛法

设p为常数，若反常积分lnx/(xp(1-x)1-p) dx收敛，则p的取值范围是【】

讨论sinbx/xλ dx(b≠0)的绝对收敛性和条件收敛性.

求证：J=ln⁡(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.

证明：广义积分lnx/√x dx收敛.

先说明广义积分dx/(a4+x4 )收敛（a>0是常数），再计算其积分值.

已知f(x)dx条件收敛，且f+(x)=(|f(x)|+f(x))/2,f-(x)=(|f(x)|-f(x))/2证明：(1) f+(x)dx,f-(x)dx均发散到+∞;(2)当A→+∞时，f+(x) dx与f-(x)dx等价.

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负，且广义积分f(x)dx收敛，证明：xf(x)dx=0.

证明含参广义积分F(a)=e-axsinxdx在(0,+∞)连续，但非一致收敛.

设[a,+∞)上非负连续函数f可导，且具有连续导函数，若存在r>1，使xf'(x)/f(x)≤-r，证明：反常积分f(x)dx收敛.

已知f(x)在[a,b]上二阶可导，且f''(x)≤0，证明：f(x)dx≤(b-a)f((a+b)/2).

定积分

设，求dy/dx,(d2y)/(dx2)在t=的值.

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

tsint dt=__________.

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

设f(x)连续，则d/dx tf(x2-t2)dt等于【】

d/dx sin⁡(x-t)2dt=________.

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【】

设连续函数f(x)满足f(a+b-x)=f(x),∀x∈[a,b]，则积分xf(x)dx等于【】

计算积分xm-1/(1+xn) dx，其中0<m<n.

南京大学定积分的概念与性质