大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1998年变限积分)

单项选择（1998年理工数学Ⅰ）

设f(x)连续，则d/dx tf(x²-t²)dt等于【】

A、xf(x²)

B、-xf(x²)

C、2xf(x²)

D、-2xf(x²)

答案解析

A

讨论

大学数学

设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为________.

设A为n阶矩阵，|A|≠0,A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值____________.

设L为椭圆x2/4+y2/3=1，其周长记为a，则∮L(2xy+3x2+4y2)ds=__________.

设z=1/x f(xy)+yφ(x+y),f,φ具有二阶连续导数，则∂2z/∂x∂y=________________.

(+-2)/x2=__________.

设总体X的概率密度为f(x)=,其中θ>-1是未知参数.X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆；(2)求AB-1.

已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵？说明理由.

设B是秩为2的5×4矩阵，α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基.

变限积分

设x≥-1，求(1-|t|)dt.

函数F(x)=(2-1/√t) dt(x>0)的单调减少区间为__________.

设f(x)=sint2dt,g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的【】

设，求dy/dx,(d2y)/(dx2)在t=的值.

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

d/dx sin⁡(x-t)2dt=________.

已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)=，则X的数学期望为______；X的方差为______.

设随机变量X,Y相互独立，其概率密度函数分别为：fX (x)=,fY(y)= 求Z=2X+Y的概率密度函数.

设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.

设4阶矩阵A=(α,γ2,γ3,γ4 ),B=(β,γ2,γ3,γ4)，其中α,β,γ2,γ3,γ4均为四维列向量，且已知行列式|A|=4,|B|=1，则行列式|A+B|=________.

定积分

证明：xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中，a>0为常数.

设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续，求证：1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2 maxx∈[a,b] ⁡|f'(x)|,x∈[a,b]

|x|dx = ______.

当某公司推出一个新的社交软件时，公司的市场部门除了会关心该软件的活跃客的总人数随时间的变化，也会对客户群体的一些特征做具体的调研和分析。我们用n(t,x)表示客户的数量密度(以下简称密度)，这里t表示时间，而x表示客户对该社交软件的使用时长，那么在t时刻，对于0<x1<x2，使用时长介于x1和x2之间的客户数量为n(t,x)dx。我们假设，密度n(t,x)随着时间演化受以下几个因素的影响：假设1.当客户持续使用该社交软件时,他的使用时长随时间线性增长。假设2.客户在使用过程中，可能会停止使用，我们假设停止速率d(x)>0只跟使用时长x有关。假设3.新客户的来源有两个。①公司的宣传：单位时间内因此增加的人数是时间的函数，用c(t)表示。②老客户的宣传：老客户会主动向自己的同事、朋友等推荐使用该社交软件，推荐成功的速率跟客户的使用时长x有关，记作b(x)。假设如果在某一时刻，记为t=0时，密度函数是已知的，n(0,x)=n0 (x)。可以推导出，n(t,x)的时间演化满足如下的方程 (1)这里N(t)可解读为新客户的增加速率。我们假设b,d∈(0,∞)，即b(x)和d(x)正且(本质)有界。以下,我们先做一个简化假设：c(t)≡0，即新客户的增加只跟老客户的宣传有关。(i)问答题(10分)根据假设1和假设2，形式地推导出(1)中n(t,x)所满足的偏微分方程，需要在推导过程中指出模型假设和数学表达式之间的对应关系。再根据假设3，解释(1)中N(t)的定义的含义。(ii)问答题(10分)我们想要研究新客户的增加速率N(t)和推荐成功速率b(x)之间的关系。为此,请推导出一个N(t)所满足的方程，且方程中只包含N(t),n0 (x),b(x),d(x)，而不包含n(t,x)。并证明，N(t)满足如下估计|N(t)|≤‖b‖∞|n0 (x)|dx,这里‖∙‖∞表示L∞范数。(iii)证明题(10分)最后，我们想要研究，在充分长的时间之后，数量密度函数n(t,x)有什么渐近的趋势。由于客户总人数可能一直在增加，所以我们不方便直接研究数量密度函数n(t,x)，而更应该去看一个重整化的密度函数。为此，我们首先假设如下的特征值问题有唯一解(λ0,φ(x))：并且它的对偶问题也有唯一的解ψ(x)：然后，我们定义重整化密度n ̃(t,x)≔n(t,x)e-λ0 t。证明，对于任意凸函数H:R+→R+满足H(0)=0，我们有d/dt ψ(x)φ(x)H()dx≤0,∀t≥0,并证明ψ(x)n(t,x))dx=eλ0t ψ(x) n0 (x)dx.

浙江省定积分的换元法

数值求积f(x)dx时(1)试写出直接用梯形公式的计算式T1；(2)将[a,b]n等分，用Tn表示用复化梯形公式求得的积分值，试写出Tn的计算式；(3)若将步长分半（即步长二分），试给出T2n与Tn的递推关系；(4)若用精度控制|T2n - Tn |<ε，试写出“变步长梯形法”的算法框图.

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

用Romberge方法求dx的近似值。（给定n=4）