大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1998年两个重要极限)

填空题（1998年理工数学Ⅰ）

(+-2)/x²=__________.

答案解析

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讨论

函数极限

当x→1时，函数(x2-1)/(x-1) e1/(x-1)的极限【】

求f(x)=的表达式，并作函数f(x)图像。

证明：[x3]+x2=[x2]+x3存在一个非整数解，其中[x]表示不大于x的最大整数.

已知 fn(x)=求证：（1）对于任何自然数n，方程fn(x)=在区间(0,)中仅有一根；（2）设xn∈(0,)满足fn(xn)=，则.

理工数学Ⅰ函数极限存在准则

已知⁡[aarctan + ]存在，求a的值.

(e2x-1-ln⁡(2+x))/x=【】

求⁡(ex-sinx-1)/(1-).

(1/√x)tanx =__________.

求(sin⁡(2/x)+cos(1/x))x

两个重要极限

cotx(1/sinx-1/x)=________.

(1+3x)2/sinx=__________.

⁡xcot2x=__________.

求(2sinx+cosx)1/x

设[(x+2a)/(x-a)]x=8，则a=________.

已知((x+a)/(x-a))x =9，求常数a.

考研两个重要极限

东北财经大学两个重要极限

sin(x2-1)/(x-1)=__________。

计算(1+xex)1/x

函数与极限

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.

设函数f(x)在[0,+∞)连续，(f(x)-k√x)=0,k>0为常数，证明：f(x)在[0,+∞)上一致连续.

(1)叙述函数f(x)在区间I一致连续的定义；(2)用肯定语言叙述函数f(x)在区间I不一致连续的定义；(3)设f(x)=sin 1/x,a>0为任一常数，证明：函数f(x)在区间[a,+∞)上一致连续，但在区间(a,+∞)上不一致连续。

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)绝对可积，函数g(x)在区间(-∞,+∞)有界且满足：|g(x)-g' (x)|≤L|x-x' |,L>0是常数.证明：函数F(y)=f(x)g(x)dx在区间(-∞,+∞)上一致连续.

设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，(1)证明：f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值（选最小值证明）；(2)进一步，还假设f(x)在[a,b]上处处不为零，试用定义证明函数1/f2(x)在[a,b]上连续.

已知当x→0时，(1+ax2)1/3-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=__________.

设f(x)=在(-∞,+∞)内连续，则a=________.

设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是__________.

设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=(x2-t2) f(t)dt，且当x→0时，F'(x)与xk是同阶无穷小，则k等于【】