大学数学-考研试题(高等数学三 2021年函数极限存在准则)

计算题（2021年经济数学Ⅲ）

已知⁡[aarctan + ]存在，求a的值.

答案解析

⁡[aarctan + ] = π/2·a + e;⁡[aarctan + ] = -π/2·a + e-1;由左极限等于右极限，有π/2·a + e=-π/2·a + e-1，解得 a = (e-1...

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讨论

函数极限

⁡xcot2x=__________.

设函数f:R→R满足：(1) f(1)=1,(2) f'(x)=1/(x2+[f(x)]2),∀x≥1.证明：f(x)存在且小于1+π/4.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

已知函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：⁡g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：f(x)g(x,h)dx=A

求极限(x-xx)/(1-x+lnx)

求极限(cos⁡(tanx)-cosx)/(x3sinx).

确定常数a,b，使得极限(axcosx-bsinx)/x³ 存在，并求极限.

求⁡(ex-sinx-1)/(1-).

(1/√x)tanx =__________.

(1+3x)2/sinx=__________.

函数与极限

(1+22√2+32∛3+⋯+n2)/n3

求极限( -√n)/

已知an=+∞，证明(a1+a2+⋯+an)/n=+∞，并举例说明反过来不成立.

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

已知α>0，求极限.

已知an=a≠0，试用ε-N语言证明：1/an =1/a.

证明数列{sinn}发散.

设数列{xn}满足1/xn+1 +lnxn<1，证明：xn存在，并求之.(已知：1/x+lnx≥1)

求极限(1+++⋯+)/n.

求极限nxnexdx.

函数极限存在准则

已知 fn(x)=求证：（1）对于任何自然数n，方程fn(x)=在区间(0,)中仅有一根；（2）设xn∈(0,)满足fn(xn)=，则.

理工数学Ⅰ函数极限存在准则

当x→1时，函数(x2-1)/(x-1) e1/(x-1)的极限【】

x∙cos(1/x)= 【】

总体X的概率分布为P{X=1}=(1-θ)/2,P{X=1}=P{X=3}=(1+θ)/4，利用来自总体X的样本观察值1,3,2,2,1,3,1,2可得θ的最大似然估计值为【】

设A=(α1,α2,α3,α4)为4阶正交矩阵，若矩阵A = ,β = ,k表示任意常数，则线性方程组Ax=β的通解为x=【】

设D由y=sinπx(0≤x≤1)与x轴转成，则D绕x旋转的旋转体体积为__________.

若y=cos , = __________.

求函数f(x,y) = 2ln⁡|x| + 的极值.

设n为正整数，y=yn (x)是微分方程xy' - (n+1)y=0满足条件yn(1)=1/n(n+1)的解.(1) 求yn (x);(2) 求级数yn(x)的收敛域及和函数.