大学数学-考研试题(北京理工大学 2022年数列极限)

计算题（2022年北京理工大学）

求极限( -√n)/

答案解析

分子、分母同乘以 +√n：

(-√n)( +√n)/( +√n))

=√n/( +√n))

=1/(√(1+1/√n)+1) )

=1/2 1/=1/2×1/31/=1/6

讨论

大学数学

求极限sin4x/(-1)

求证：J=ln⁡(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.

设u∈C2 (R3)且∆u(x)=((∂2 u)/(∂x12 )+(∂2 u)/(∂x22 )+(∂2 u)/(∂x32 ))(x)=λu(x),λ为正常数，已知存在C>0，使得|x|≥C时，u≡0，求证：u(x)≡0,∀x∈R3.

设f∈[0,2π]，证明：f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.

求∫C1/(xdx+ydy)，其中C是从(1,0)到(0,2)的光滑曲线（不过原点）.

求∫Cx2ds，其中C为x2+y2+z2=a2 (a>0)与z=的交线.

试求椭圆x2/4+y2=1上一点，使其到直线3x+4y-12=0,3x-4y+12=0和y+3=0的距离平方和最小.

讨论sinbx/xλ dx(b≠0)的绝对收敛性和条件收敛性.

求证：x2/(1+x2 )n 收敛，但在R上不一致收敛.

数列极限

求⁡[sin⁡(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1/2)+⋯+sinπ/(n+1/n)]

设-π/2≤xn≤π/2，则【】

已知an=-(-1)n/n(n=1,2,…)，则{an}【】

由下面哪个条件能够判断{xn}收敛【】

对有界数列{xn}，下面哪个说法可作为xn=L的定义【】（此题不全，待更新）

(1+22√2+32∛3+⋯+n2)/n3

考研数列极限存在准则

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

江苏省数列极限存在准则

函数与极限

⁡xcot2x=__________.

设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=(x2-t2) f(t)dt，且当x→0时，F'(x)与xk是同阶无穷小，则k等于【】

设 f(x) 是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则【】

当x→0时，α(x),β(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题①若α(x)~β(x)，则α2 (x)~β2 (x)②若α2 (x)~β2 (x)，则α(x)~β(x)③若α(x)~β(x)，则α(x)-β(x)=o(α(x))④若α(x)-β(x)=o(α(x))，则α(x)~β(x)其中所有真命题的序号是【】

设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)上连续.下面哪个条件能够判定函数f(x)在[a,b]上有最大值【】

设函数f:R→R满足：(1) f(1)=1,(2) f'(x)=1/(x2+[f(x)]2),∀x≥1.证明：f(x)存在且小于1+π/4.

在平面直角坐标系中，椭圆x2+xy+y2=1的长轴方程为__________，位于x轴上半平面内的焦点坐标为__________.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

考研无穷小与无穷大