若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.
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证明题（2022年中国科学院）
答案解析
假设∃n，对∀ξn∈[0,1]都有f(ξn+1/n)≠f(ξn )+1/n.令F(x)=f(x+1/n)-f(x)-1/n，根据假设知F(x)在[0,1]上无零点，又F(x)在[0,1]上连续，所以F(x)在[0,1]上不变号.将[0,1]区间n等分，记xk=k/n,k=0,1,…,n，根据题目条件有：0=f(0)-0+[(f...
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设f(x)=在(-∞,+∞)内连续，则a=________.
设F(x)=，其中f(x)在x=0处可导，f' (0)≠0,f(0)=0，则x=0是F(x)的【 】
设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.
设函数f(x)在[0,+∞)连续，(f(x)-k√x)=0,k>0为常数，证明：f(x)在[0,+∞)上一致连续.
设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.
设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是__________.
设函数f(x)在(0,1)上有定义，且函数exf(x)与函数e-f(x)在(0,1)上都是单调递增的，求证：f(x)在(0,1)上连续.
给定x0>0以及[0,+∞)上连续函数f(x)，证明：至多具有一个定义于[0,+∞)上的连续函数y(x)满足对任意的x>0，有dy/dx=-y³+f(x)，其中y(0)=y0.
已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)存在，证明：(1)函数f(x)有界；(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.
验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.
求证：(-1)n-1x2/(1+x2 )n 在R上一致收敛.
证明：若f(x)在区间(a,b)内可导且无界，则其导函数f'(x)在(a,b)内也无界，但反之不然，举出例子.