证明：若f(x)在区间(a,b)内可导且无界，则其导函数f'(x)在(a,b)内也无界，但反之不然，举出例子.
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证明题（2022年中国科学院）
答案解析
任取x0,x∈(a,b)，不妨设(x0<x).由于f(x)在(a,b)内可导且连续，∴由Lagrange中值定理知，∃ξ∈(x0,x)使得f(x)-f(x0 )=f'(ξ)(x-x0)|f' (ξ)|=|(f(x)-f(x0 ))/(x-x0 )|≥|f(x)-f(x0 )|/(b-a)≥|f(x)|/(b-a)-|f(x0 )|/...
查看完整答案讨论
设f:[0,1]→[0,1]是一个连续函数，证明：方程2x-f(t)dt=1在[0,1]中有且仅有一个零点.
设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
设实系数一元n次方程P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.
设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.
设函数f(x)在闭区间[a,]连续，f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0，证明：函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微，对[0,1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且f'(x)≠1，证明：在(0,1)内有且仅有一个x，使得f(x)=x.
曲线y=(t-1)(t-2)dt在点(0,0)处的切线方程是____________.
若3a2-5b<0，则方程x5+2ax3+3bx+4c=0【 】
设f(x)有二阶连续导数，且f' (0)=0,f''(x)/|x|=1，则【 】
确定函数y=(x+1)/x2 的单调区间、极值、凸凹区间、拐点以及渐近线.
曲线对应于t=π/6点处的法线方程是____________.
对数螺线ρ=eθ在点(ρ,θ)=(eπ/2,π/2)处的切线的直角坐标方程为__________.
设在区间[a,b]上f(x)>0,f' (x)<0,f''(x)>0，记S1=f(x)dx,S2=f(b)(b-a),S3=1/2[f(a)+f(b)](b-a)，则【 】