2010年全国大学生预赛 · 微分中值定理 · 竞赛题

设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数,并且f″(x)>0,lim x->+∞f′(x)=α>0,lim x->-∞f′(x)=β<0,且存在一点x0使得f(x0)<0,证明:方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.

答案

由于f″(x)>0,可得f′(x)在(-∞,+∞)上严格增加;由lim x->+∞f′(x)=α>0可得存在b>0使得f′(b)>0;由lim x->-∞f′(x)=β<0可得,存在a<0使得f′(a)<0.由于f′(x)在闭区间[a,b]上连续,应用零点定理,ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0,且当x<ξ时,f′(x)<0;当x> ξ时,f′(x)>0.由于f″(ξ)>0,所以f(ξ)是函数f(x)的极小值,由于f(x0)<0,所以f(ξ)<0.

任取x>ξ,应用拉格朗日中值定理,ξ1∈(ξ,x),使得

f(x)=f(ξ)+f′(ξ1)(x-ξ) (其中f′(ξ1)>0)

由此式可得,lim x->+∞f(x)=+∞,因此∃d∈(ξ,+∞),使得f(d)>0.

任取x<ξ,应用拉格朗日中值定理,ξ2∈(x,ξ),使得

f(x)=f(ξ)+f′(ξ2)(x-ξ) (其中f′(ξ2)<0)

由此式可得,lim x->-∞f(x)=+∞,因此∃c∈(-∞, ξ),使得f(c)>0.

因为f(c)>0,f(ξ)<0,f(d)>0,f(x)分别在区间[c, ξ]与[ξ,d]上连续,应用零点定理η∈(c, ξ),ζ∈(ξ,d),使得f(η)=f(ζ)=0.

因为x<ξ时,f′(x)<0,x>ξ时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(-∞, ξ]上严格减少,在区间[ξ,+∞)严格增加,故f(x)在区间(-∞, ξ)内至多有一个零点,在区间(ξ,+∞)内也至多有一个零点,因此方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.

笔记