2016年江苏省 · 微分中值定理 · 竞赛题

设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,求证:存在ξ∈(0,1),使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.

答案

因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1,应用拉格朗日中值定理,可知存在c∈(0,1),使得f′(c)=f(1)-f(0)/1-0=1.

令F(x)=exx(f′(x)-1),则F(0)=0,F(c)=0.因F(x)在区间[0,c]上可导,应用罗尔定理,可知存在ξ∈(0,c) (0,1),使得F′(ξ)=0.

由于

F′(x)=ex[x(f′(x)-1)+ (f′(x)-1)+xf″(x)]

= ex[xf″(x)+(1+x)f′(x)-(1+x)]

F′(ξ)= eξ[ξf″(ξ)+(1+ξ)f′(ξ)-(1+ξ)]

于是 ξf″(ξ)+(1+ξ)f′(ξ)=1+ξ.

笔记