设函数f(x)在[-a,a]上具有二阶连续导数，证明：
(Ⅰ)若f(x)=0，则存在ξ∈(-a,a)，使得f''(ξ)=1/a² [f(a)+f(-a)]；
(Ⅱ)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在η∈(-a,a)，使得|f''(η)|≥1/2a²|f(a)-f(-a)|.
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证明题（2023年理工数学Ⅰ；2023年理工数学Ⅱ）
答案解析
(Ⅰ) f(x)=f(0)+f' (0)x+f''(η)/2! x2=f' (0)x+f''(η)/2! x2,η介于0于x之间，则f(a)=f' (0)a+f''(η1)/2! a2,0<η1<a.①f(-a)=f' (0)(-a)+f'' (η2 )/2! a2,-a<η2<0.②①+②得：f(a)+f(-a)=a2/2[f'' (η1 )+f''(η2)].③又f''(x)在[η1,η2]上连续，由必有最大值M与最小值m，即m≤f'' (η1 )≤M,m≤f'' (η2 )≤M，从而m≤(f'' (η1 )+f'' (η2 ))/2≤M.由介值定理得：存在ξ∈[η2,η1]⊂(-a,a)，使得f'' (ξ)=(f'' (η1 )+f'' (η2 ))/2，代入③得：f(a)+f(-a)=a2 f''(ξ)，即f'' (ξ)=(f(a)+f(-a))/a2 .(Ⅱ)设f(x)在x=x0∈(-a,a)取极值，且f(x)在x=x0可导，则f' (x0 )=0.又f(x)=f(x0 )+f' (x0 )(x-x0 ...
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设空间有界区域Ω中，柱面x²+y²=1与平面z=0和x+z=1围成，Σ为Ω边界的外侧，计算曲面积分I=∰Σ2xzdydz+xzcosydzdy+3yzsinxdxdy
设曲线y=y(x)(x>0)经过点(1,2)，该曲线上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x)；(Ⅱ)求函数f(x)=y(t)dt在(0,+∞)上的最大值.
设随机变量X与Y相互独立，且X~B(1,1/3),Y~(2,1/2)，则P{X=Y}=______.
已知向量α1=,α2=,α3=,β=,γ=k1 α1+k2 α2+k3 α3，若γTαi=βTαi (i=1,2,3)，则k12+k22+k32=______.
设连续函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=x,f(x)dx=0，则f(x)dx=______.
设f(x)为周期为2的周期函数，且f(x)=1-x,x∈[0,1]，若f(x)=a0/2+ancosnπx，则a2n =________.
曲面z=x+2y+ln(1+x2+y2)在(0,0,0)处的切平面方程为__________.
当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+ln(1+x)与g(x)=ex^2 -cosx是等价无穷小，则ab=______.
设X1,X2为来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中σ(σ>0)是未知参数.若σ ̂=a|X1-X2 |为σ的无偏估计，则a=【 】
设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f'(x)≥k>0,f(0)<0，证明：f(x)在(0,+∞)有且仅有一个零点.
已知f''(x)<0,f(0)=0，证明对任何x1>0,x2>0，恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.
设f:[0,1]→[0,1]是一个连续函数，证明：方程2x-f(t)dt=1在[0,1]中有且仅有一个零点.
求证不等式：(eb - ea)/(b-a)<(eb + ea)/2 (a≠b).
证明：若f(x)在区间(a,b)内可导且无界，则其导函数f'(x)在(a,b)内也无界，但反之不然，举出例子.
已知函数f(x)在(0,1)上连续，且f(1)=3ex-1f(x)dx，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)+f'(ξ)=0.
已知f(x)在[a,b]上三次可微，且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明：|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.
设f(x)在(0,1)上可导，在[0,1]上连续，且f(1)-f(0)=2e-1-1.证明：存在ξ∈(0,1)，使得eξ^2 f' (ξ)+2ξ3=0.