假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且g'' (x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)，试证：
(1)在开区间(a,b)内对任意x有g(x)≠0；
(2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)/g(ξ) =f'' (ξ)/g'' (x).
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证明题（1995年理工数学Ⅰ）
答案解析
(1)用反证法：若存在c∈(a,b)，使g(c)=0，则对g(x)在[a,c]和[c,b]上分别应用罗尔定理知，存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b)，使g' (ξ1 )=g' (ξ2 )=0.再对g'(x)在[ξ1,ξ2]上应用罗尔定理，知存在ξ3∈(ξ1,ξ2)，使g'' (ξ3 )=0，这与题设g''(x)≠0矛盾，故在(a,b...
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设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.
设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.
设函数f(x)在闭区间[a,]连续，f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0，证明：函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。
已知f''(x)<0,f(0)=0，证明对任何x1>0,x2>0，恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.
设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f'(x)≥k>0,f(0)<0，证明：f(x)在(0,+∞)有且仅有一个零点.
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微，对[0,1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且f'(x)≠1，证明：在(0,1)内有且仅有一个x，使得f(x)=x.
证明方程lnx=x/e-dx在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b).证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f' (ξ)>0.
当x→0时，x-sinxcosxcos2x与cx4为等价无穷小，则c=__________，k=__________.
当x→0时，1-cosxcos2xcos3x对于无穷小x的阶数等于 __________.
设x>0时，f(x)=，求证：x→0+时，f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求A,B之值.
设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则【 】
设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【 】
设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【 】
设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.