设f(x)在含节点xi (i=0,…,n)的区间[a,b]上n+1次可微，Pn (x)是f(x)关于给定的n+1个节点的n次插值多项式，证明：对于任意x∈[a,b]，存在与x有关的ξ∈(a,b)，使得
f(x)-Pn (x)=f(n+1) (ξ))/(n+1)!· (x-x0 )(x-x1 )…(x-xn).
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证明题（2003年春电子科技大学）
答案解析
设ϕ(t)=f(t)-Pn (t)-K(x)ωn+1 (t)视x为(a,b)上的一个固定点，且x≠xi (i=0,1,…,n)则ϕ(x)=0,ϕ(xi )=0,(i=0,1,…,n)由Rolle定理，在ϕ(t)的任何两个零点之间必存在一点η，使得ϕ'(η)=0，于是ϕ'(...
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若x=(-1,2,3,0,4)，求‖x‖1,‖x‖2,‖x‖∞.
设Γ是上半球面x2+y2+z2=R2 (z≥0)上的光滑曲线，起点和终点分别在平面z=0,z=R/2上，曲线的切线与z轴正方向的夹角为常数α∈(0,π/6)，求曲线Γ的长度.
若f(x):(0,π)→R连续，f(x)>0,f(π/2)=1，且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x))，求f(x)的表达式.
一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？
计算(sin(x3y)+x2y)dxdy，其中D由y=x3,y=-1和x=1围成的有限闭区域.
设f:[0,1]→[0,1]是一个连续函数，证明：方程2x-f(t)dt=1在[0,1]中有且仅有一个零点.
求证不等式：(eb - ea)/(b-a)<(eb + ea)/2 (a≠b).
已知函数f(x)在(0,1)上连续，且f(1)=3ex-1f(x)dx，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)+f'(ξ)=0.
已知f(x)在[a,b]上三次可微，且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明：|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.
设f(x)在(0,1)上可导，在[0,1]上连续，且f(1)-f(0)=2e-1-1.证明：存在ξ∈(0,1)，使得eξ^2 f' (ξ)+2ξ3=0.
若函数f(x)在[a,b]上连续(b>0)，在(a,b)内可导，且f(a)=0，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=ξf(ξ)/(b-ξ).
设f在[0,1]上连续，在(0,1)上有二阶连续导数，f(0)=f(1)=1,f'' (x)<8，证明：对任意的x∈[0,1]，有f(x)>0.
设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【 】
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a,|f''(x)|≤b，其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点，证明：|f'(c)|≤2a+b/2.
试求椭圆x2/4+y2=1上一点，使其到直线3x+4y-12=0,3x-4y+12=0和y+3=0的距离平方和最小.
设a,b,c,d皆为常数，cd≠0，说明并给出理由，当a,b,c,d满足什么条件时，f(x)=(ax+b)/(cx+d)无极值.
已知f(x)在[a,b]上二阶可导，且f''(x)≤0，证明：f(x)dx≤(b-a)f((a+b)/2).
求椭圆x2/4+y2=1到直线x+2y-3=0的距离的最小值.
设曲线y=y(x)(x>0)经过点(1,2)，该曲线上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x)；(Ⅱ)求函数f(x)=y(t)dt在(0,+∞)上的最大值.